Betrachten wir folgende Messkette einer Druckmessung als Beispiel. Sie beginnt mit dem Druck, der von einem Sensor in eine Spannung umgewandelt wird. Dann wird die Spannung verstärkt und digitalisiert.
Sensor
Der Sensor zeigt folgendes Verhalten, wenn keine Fehler auftreten:
Die Messung des Drucks ist unsicher. Die Spannung weist einen Offset von ±1 mV und eine Unsicherheit in der Steigung von ±1% des Messwerts auf. Das sind willkürliche Werte für das Beispiel. Damit erhalten wir für die Sensorspannung die Formel:
Der Term (1 ± 0,01) hat den Wertebereich [0,99 … 1,01]. Das entspricht [99% … 101%]. Es bildet mathematisch die Unsicherheit der Steigung von 1% des Messwerts rund um die 100% auf einen Bereich ab. Die Abbildung gibt noch keine Verteilung der Werte innerhalb des Bereichs an, es steckt nur die Grenzen des Bereichs ab.
Die Unsicherheiten sind in den Termen mit „±“ enthalten. Um die Formel so umzustellen, dass die Unsicherheiten zusammengefasst werden, multiplizieren wir die Klammer (1 ± 0,01) aus:
Die Unsicherheit ist jetzt in ΔUS zusammengefasst. Sie weist einen konstanten Term ±1mV auf. Dazu kommt ein Term, der abhängig vom aktuellen Druckwert P ist. Setzen wir für dieses Beispiel P = 3 bar in die Formel ein. Damit ergibt sich eine Unsicherheit der Sensorspannung von
Die Abweichung der Sensorspannung von der idealen Kennlinie bei P = 3 bar liegt in diesem Intervall. Sie ist normalverteilt, erreicht also nur extrem selten die Grenzen des Intervalls und liegt sehr wahrscheinlich nah an der Mitte des Intervalls bei 0mV.
Analoge Signalverarbeitung
Angenommen der Drucksensor kann einen Druck im Bereich P = [0 bar … 10 bar] messen. Dann beträgt der Wertebereich der idealen Sensorspannung (ohne die Unsicherheit) US,ideal = [0mV … 100mV]. Angenommen der ADC hat die Referenzspannung URef = 3V. Um das Sensorsignal in diesen Bereich optimal zu verstärken brauchen wir eine Verstärkung von v = 30.
Wir verwenden dafür einen nicht-invertierenden OP als Verstärker mit
Die Widerstände sind nicht ideal, wir nehmen erstmal welche in der 0,2%-Genauigkeitsklasse mit einem Temperaturkoeffizienten von TK=20ppm/°C. Die Druckmessung soll bei Temperaturen von T = [-25°C .. 75°C] eingesetzt werden. Es gilt also ΔT = ±50°C rund um die 25°C als Referenztemperatur. Damit gilt für die Widerstände:
Der OP ist auch nicht ideal, wir nutzen einen Typ mit einer Offsetspannung von UOS = 5µV und einem Temperaturkoeffizienten von TK = 100nV/°C. Es gilt:
Die Offset-Spannung modellieren wir an den nicht-invertierenden Eingang des OPs, sie wird also vom OP mit v = 30 verstärkt.
ADC
Am 12 Bit ADC betrachten wir zur Vereinfachung nur die Referenzspannung als fehlerhaft. Die 3V-Referenz weicht initial um ±200ppm ab und hat einen Temperaturkoeffizienten von TK = 10 ppm/°C.
Linearität, Offset und Quantisierungseffekte des ADCs werden in diesem Beispiel vernachlässigt.
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