Raumzeiger

Wechselgrößen können entweder als Zeitverlaufsgrößen, als Effektivwert oder als komplexe Zeiger gezeichnet und berechnet werden. Jede der Darstellungsformen hat Vor- und Nachteile. Je nachdem, was gezeigt werden soll, wechsele ich die Darstellungsform. Wir vergleichen die Darstellungsform anhand des folgenden Beispiel-Signals:

Zeitverlauf

Den Zeitverlauf können wir uns gut vorstellen. Er kann mit einem Oszilloskop im Labor gemessen werden. Er ist also die Darstellungsform, die wir „erleben“ können. Zum Rechnen ist der Zeitverlauf ungeeignet, weil das Rechnen mit Sinusgrößen unnötig kompliziert ist. Im Zeitverlauf sehen wir die Parameter Spitzenwert und Phasenwinkel. Wir erkennen auch direkt, wenn ein Verlauf nicht sinusförmig ist (was wir in diesem Tutorial vermeiden). Spitzenwert, Phasenwinkel und Zeitverschiebung können grafisch ermittelt werden.

Effektivwert

Der Effektivwert einer sinusförmigen Größe ist immer konstant. Wir können damit die Intensität bzw. die Größe des Signals mit einem einzigen Zahlenwert erfassen. Die Phasenverschiebung des Signals geht dabei aber verloren.

Zeiger

Der komplexe Zeiger bzw. die komplexe Berechnung sinusförmiger Größen ist ideal für Rechnungen. Zeiger beinhalten den Spitzenwert (Signalintensität) in der Zeigerlänge. Die Phase ist in der Richtung enthalten, in die der Zeiger in der komplexen Ebene zeigt. Ein Zeiger hat alle relevanten Informationen des Signals enthalten.

Zwei komplexe Größen können einfach grafisch addiert oder subtrahiert werden, indem zwei Zeiger grafisch aneinandergehängt werden. In Komponentenform lassen sich zwei komplexe Zahlen einfach addieren oder subtrahieren.

Zwei komplexe Größen können in Normalform multipliziert (dividiert) werden, indem die Mantissen multipliziert (dividiert) werden und die Phasen addiert (subtrahiert) werden. Grafisch wird das durch eine Drehung und Streckung des Zeigers erreicht.

Grafische Lösungen sind mit Zeigern schnell ermittelt. Das hilft ungemein beim Verständnis und geht oft schneller als die Berechnung.

Zeiger mit Effektivwerten

Die Länge eines Zeigers entspricht in den Grundlagen der Elektrotechnik dem Spitzenwert des Zeitverlaufs. In der Antriebstechnik und Energieversorgung wird aber fast nur mit Effektivwerten gerechnet. Deshalb gibt es auch die Darstellung von Effektivwerten als Zeiger. Dabei entspricht die Zeigerlänge dem Effektivwert des Zeitverlaufs. Sobald Großbuchstaben in Zeigern auftauchen handelt es sich um Effektivwertzeiger.

Grafische Addition und Multiplikation mit Zeigern

Betrachten wir zwei Zeiger (Effektivwerte). Sie werden grafisch addiert. Länge und Richtung können direkt grafisch ermittelt werden. Die Zeiger werden dazu hintereinander gezeichnet:

Als Beispiel für eine grafische Multiplikation suchen wir die Spannung an einer Spule. Die Richtung eines Produkts zweier Zeiger kann grafisch ermittelt werden, die Länge nicht. Für die Länge multiplizieren wir die Beträge der beiden Zeiger mathematisch. Wir ermitteln in der Überlegung unten also nur die Richtung von U:

In der Abbildung oben spielen Längen keine Rolle, nur Richtungen. Die Richtung von U ermitteln wir aus I multipliziert mit Z. Die Richtung von I zeigt laut Aufgabenstellung nach oben. Die Richtung von Z dreht die Richtung von I um den Drehoperator j. Bei der Multiplikation ergibt sich die Richtung des Produkts aus der Summe der Richtungen der Faktoren. Wir setzen uns gedanklich auf die Richtung von I und drehen uns relativ dazu um 90° nach links. Das ist die Richtung der Spannung.

Die zeichnerische Lösung ist mathematisch unsauber, denn wir zeichnen Strom, Spannung und Impedanz in ein Zeigerdiagramm mit einheitlichen Achsen ein. Das ist hier egal, es geht ja nur darum zu zeigen, wie zeichnerisch die Richtung von U ermittelt werden kann. Zeichnerisch ermitteln wir mit diesem Verfahren sehr schnell Richtungen, mit denen wir unsere Berechnungen plausibilisieren können.

Raumzeiger und Statorspulen

Zwei gegenüberliegende Spulen mit jeweils entgegengesetzter Stromamplitude erzeugen ein Magnetfeld, dass in einer Raumrichtung wirkt. Es kann in dieser Richtung unterschiedlich stark sein. Und es kann das Vorzeichen wechseln, dann zeigt es genau in die entgegengesetzte Richtung. Die Wirkungsrichtung liegt weiter auf der Linie zwischen den Spulen. Das Magnetfeld kann nicht in eine andere Richtung wirken, denn die Magnete sind am Stator fest verbaut.

Wir können mit den 6 Spulen am Stator Magnetfelder in drei Richtungen erzeugen. Bei positivem Strom haben wir diese drei Richtungen zur Verfügung:

Wenn nur ein Magnetfeld z. B. nach rechts benötigt wird, können wir es mit einem positiven Strom an Spule 1 erzeugen. Dann ist der Strom an Spule 4 automatisch negativ. Die anderen Ströme lassen wir aus.

Magnetfelder überlagern sich. Sie können dann wie Vektoren zu einem Gesamtfeld addiert werden. Soll ein Magnetfeld in eine andere Richtung zeigen, kombinieren wir Magnetfelder in den drei verfügbaren Richtungen.

Statorstromzeiger

Magnetfelder werden in der Antriebstechnik über Stromzeiger visualisiert. Die Richtung des Magnetfelds wird (physikalisch etwas unsauber) auf eine Richtung des Statorstroms abgebildet. Wenn wir von einer Statorstromrichtung sprechen, meinen wir also immer die Richtung des resultierenden Magnetfelds.

Wir lösen uns von den Spulen am Stator und betrachten nur noch Richtungen im Raum. Die drei möglichen Stromrichtungen zeigen in Stator-Koordinaten in die Richtungen 0° (Strom 1), 120° (Strom 2) und 240° (Strom 3).

Wir überlagern (wieder physikalisch unsauber) die Statorströme vektoriell zu einem Gesamtstatorstrom. Wir meinen damit, dass sich die Magnetfelder vektoriell addieren. Wir bilden also aus den drei Spulenströmen einen Gesamtstrom-Zeiger, der die Gesamtrichtung und die Gesamtintensität der Ströme in den drei Statorspulen angibt.

Sinusförmige Stromverläufe an den Statorspulen können wir an festen Punkten von Hand überlagern und betrachten, in weiche Richtung mit welcher Intensität das resultierende Magnetfeld wirkt. Die Erwartung ist, dass das Magnetfeld immer um 90° vor dem Rotormagnetfeld liegt.

Wir betrachten als Beispiel die Ströme beim Rotorwinkel Ω_Rotor = 90° oder π/2. An dieser Stelle ist i₁ laut Zeitdiagramm unten links maximal groß und positiv. Die Ströme i₂ und i₃ sind halb so groß und negativ. In der mittleren Zeigerdarstellung ergibt sich ein Gesamtstromzeiger aus der Addition der drei Einzelstromzeiger, der nach rechts zeigt.

Im letzten Kapitel haben wir festgestellt: Mit einem positiven Strom an Spule 1 erzeugen wir im Inneren von Spule 1 in Richtung Rotor einen magnetischen Südpol. Wenn wir das auf den Gesamtstromzeiger bei Ω_Rotor = 90° übertragen, dann zeigt der Südpol des Statorfelds in Richtung des Gesamtstromzeigers.

Stator- und Rotorfeld sind rechts in der Abbildung dargestellt. Das Statorfeld zeigt mit einem Südpol nach rechts (Ω = 0°). Das Rotorfeld zeigt mit seinem Südpol nach oben (Ω = 90°).

Anschließend betrachten wir als zweites Beispiel die Ströme beim Rotorwinkel Ω_Rotor = 180° oder π. An dieser Stelle beträgt i₁ = 0A. Der Strom i₂ ist positiv, i₃ ist negativ. Der Betrag der Ströme beträgt

In der Zeigerdarstellung ergibt sich ein Gesamtstromzeiger aus der Addition der drei Einzelstromzeiger, der nach oben zeigt.

Damit habe ich an zwei Winkeln gezeigt, dass der Gesamtstromzeiger dem Rotor um 90° in Drehrichtung hinterherläuft. Der Gesamt-Stromzeiger gibt Richtung und Intensität des Statorfelds an.

Raumzeigerlänge

Wenn wir die Statorstrom-Raumzeiger (gelb) vieler Winkel zeichnen stellen wir fest, dass sie alle gleich lang sind. Sie sind alle um Faktor 1,5 länger als der Spitzenwert eines Strangstroms. Sie zeigen alle auf einen Kreis. Wir laufen gedanklich die Stromverläufe (linke Abbildung) in Richtung des Rotorwinkels Ω entlang. Dann laufen wir in der rechten Abbildung den gestrichelten Kreis entgegen dem Uhrzeigersinn entlang.

Die Strangströme ändern sinusförmig ihren Wert über Ω (blau, grün und rot). Der Gesamt-Statorstromzeiger (gelb) ist ein rotierender Stromzeiger konstanter Länge.

Dieses Ergebnis finde ich genial. Überlegen Sie mal, was das für die Maschine bedeutet: Wenn wir die Spulen sinusförmig mit Strom ansteuern, erzeugen wir durch Überlagerung ein Gesamt-Stator-Magnetfeld, das immer die gleiche Intensität aufweist und sich kontinuierlich im Kreis dreht. Das sind die gelben Pfeile oben, die den Statorraumzeiger über einer Umdrehung visualisieren. Sie sind alle gleich lang, also ist die Intensität des Magnetfelds für jeden Winkel gleich groß. Egal wo der Rotor steht, die Kraft ist immer gleich. Der Rotor wird also mit einem konstanten Moment Kreis bewegt. Deshalb sorgt diese Art der Ansteuerung für große Laufruhe bei den Maschinen, sie ruckeln nicht.

Diese hohe Laufruhe durch konstante Kraftwirkung ist der Grund, warum Maschinen sinusförmig angesteuert werden. Deshalb hat sich historisch der Wechselstrom gegenüber Gleichstrom in der Energieversorgung durchgesetzt.

Ich finde dieses Ergebnis auch mathematisch faszinierend. Addieren Sie drei sinusförmige Größen mit gleichem Spitzenwert und 120° Phasenverschiebung, dann erhalten Sie einen Zeiger, der im Kreis rotiert.

Eine gute Simulation zum Raumzeiger (englisch „Space Vector“) finden Sie unter folgendem: Link

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