Ein Bandpass-Filter kombiniert Hochpass- und Tiefpass-Verhalten. Es verstärkt im Bereich um die Nutzfrequenz herum mit |H(ω)|=1. Das Bandpass-Filter weist zwei Grenzfrequenzen auf. Die untere Grenzfrequenz ist die Grenzfrequenz des Hochpasses, die obere die des Tiefpasses. Ein Bandpass-Filter wird eingesetzt, wenn Störungen mit hohen und tiefen Frequenzen im Nutzsignal enthalten sind.
Wir betrachten dafür folgendes Beispiel:
Beide Störsignale sollen möglichst stark vom Filter gedämpft werden. Rund um das Nutzsignal soll das Filter mit |H| = 1 das Signal unverändert passieren lassen. Je weiter wir die Filter-Grenzfrequenzen von den Störfrequenzen entfernen, desto besser dämpft das Filter die Störsignale.
Für die Dämpfung wäre es vorteilhaft, die Grenzfrequenzen möglichst nah an die Nutzfrequenz heranzulegen. Damit das Nutzsignal von den Filtern unbeeinflusst bleibt, legen wir erneut einen Mindestabstand von Faktor 10 zwischen Nutzfrequenz und den Filterfrequenzen. Wir legen also einen Bereich mit |H| = 1 zwischen 100 1/s und 10k 1/s. Rechts von diesem Bereich soll das Tiefpass-Filter wirken, links von diesem Bereich das Hochpassfilter. Das Verhalten des Wunschfilters zeigt die folgende Abbildung:
Das Hochpass-Filter und das Tiefpass-Filter wirken jeweils auf alle Frequenzen. Das Hochpassfilter dämpft nur Signale mit Frequenzen links von der Hochpass-Grenzfrequenz ωg,HP = 100 1/s. Signale rechts von dieser Grenzfrequenz passieren das Filter alle mit |H| = 1 unverändert. Die Signale rechts vom der Tiefpass-Grenzfrequenz ωg,TP = 10k 1/s werden vom Tiefpass-Filter gedämpft. Das Tiefpass-Filter lässt aber alle Signale mit Frequenzen links von dieser Grenzfrequenz unverändert passieren. Die Filter beeinflussen sich also gegenseitig nicht.
Realisierung
Filter können hintereinandergeschaltet werden. Ein Hochpass-Filter und ein Tiefpass-Filter können zu einem Bandpass-Filter verknüpft werden. Werden zwei Schaltungsteile zusammengeschaltet, ergibt sich immer ein siehe Anpassungsproblem. Eine Signalanpassung kann dadurch erreicht werden, dass wir ein passives Filter an den Ausgang des Operationsverstärkers eines aktiven Filters schalten. Ich bringe dazu als Beispiel ein aktives Tiefpass-Filter mit einem passiven Hochpassfilter. Die Übertragungsfunktionen der Teilschaltungen sind bereits bekannt.
Das Signal passiert zunächst im linken Teil der Schaltung das aktive Tiefpass-Filter. Dort wird die hochfrequente Störung herausgefiltert und das Signal wird verstärkt. Im Signal uAus,OP ist uStör,2 also bereits gedämpft.
Anschließend passiert das Signal das Hochpass-Filter aus R3 und C3. In diesem Schaltungsteil wird die niederfrequente Störung herausgefiltert.
Obwohl hier an einem Beispiel gearbeitet wird, gelten die Formeln bereits als allgemeine Lösung. Die Lage der Störfrequenzen unterscheidet sich zwischen den Aufgaben, diese legen Sie aber erst mit der Dimensionierung der Bauelemente fest.
Es gibt eine weitere Schaltung, mit der Sie Bandpass-Verhalten realisieren können. Sie können ein aktives Hochpass-Filter aufbauen und am Ausgang ein passives Tiefpass-Filter ergänzen. Sie können auch ein aktives Hochpass-Filter an ein aktives Tiefpass-Filter hängen. In der Kombination der bekannten Schaltungen liegt viel Freiraum für Kreativität. Eine besonders elegante Verschaltung möchte ich Ihnen am Ende noch zeigen:
Das Hochpass-Filter wird durch die Bauelemente R1 und C1 bestimmt. Mit R2 und C2 wird die Tiefpass-Grenzfrequenz festgelegt. Mit dieser Schaltung werde ich eine Beispiel-Aufgabe rechnen:
Beispiel
Lösung:
Die Verstärkung v = -10 wirkt auf alle drei Signale. Das Nutzsignal passiert alle Filter unverändert und wird nur mit v = -10 verstärkt.
Das niederfrequente Störsignal uStör,1 wird vom Hochfpass-Filter um Faktor 100 gedämpft. Dieser Wert kann entweder mathematisch bestimmt werden oder aus dem Bode-Diagramm abgelesen werden. Das Signal passiert das Tiefpass-Filter unverändert, da seine Frequenz so niedrig ist, dass das Tiefpassfilter dort |H| = 1 aufweist. Insgesamt wird das Signal um Faktor -10 / 100 = -0,1 verstärkt.
Das hochfrequente Störsignal uStör,2 wird vom Tiefpass-Filter um Faktor 100 gedämpft. Das Signal passiert das Hochpass-Filter unverändert, da seine Frequenz so hoch ist, dass das Hochpassfilter dort |H| = 1 aufweist. Insgesamt wird das Signal um Faktor -10 / 100 = -0,1 verstärkt.
Phasenverlauf
Auch die Bandpass-Übertragungsfunktion beinhaltet das „j“ der komplexen Zahlen. Dadurch ändert sich die Phase des Signals zwischen Eingang und Ausgang der Schaltung. Betrachten wir nur die Phasendrehung unabhängig vom Betrag der Übertragungsfunktion. Es gilt:
Die Phase ändert sich rund um beide Grenzfrequenzen herum. Die Grenzfrequenzen liegen im Beispiel so nah zusammen, dass die Phasenverläufe ineinander übergehen. Liegen die Grenzfrequenzen weiter auseinander, bleibt die Phase hinter der Hochpass-Grenzfrequenz bei 0° konstant und sinkt erst in der Nähe der Tiefpass-Grenzfrequenz weiter. Der Phasenverlauf setzt sich einfach aus den Verläufen von Hoch- und Tiefpass zusammen.
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