Alte Kurse › Angewandte Messtechnik › Systemoptimierung

Systemanalyse

Betrachten wir folgende Messkette einer Druckmessung als Beispiel. Sie beginnt mit dem Druck, der von einem Sensor in eine Spannung umgewandelt wird. Dann wird die Spannung verstärkt und digitalisiert.

Sensor

Der Sensor zeigt folgendes Verhalten, wenn keine Fehler auftreten:

\[ \begin{gathered} P = [1\,\mathrm{bar} \ldots 10\,\mathrm{bar}] \\[6pt] U_{S,\mathrm{ideal}} = \frac{10\,\mathrm{mV}}{\mathrm{bar}} \cdot P \end{gathered} \]

Die Messung des Drucks ist unsicher. Die Spannung weist einen Offset von ±1 mV und eine Unsicherheit in der Steigung von ±1% des Messwerts auf. Das sind willkürliche Werte für das Beispiel. Damit erhalten wir für die Sensorspannung die Formel:

\[ U_{S,\mathrm{real}} = \frac{10\,\mathrm{mV}}{\mathrm{bar}} \cdot P \cdot (1 \pm 0{,}01) \pm 1\,\mathrm{mV} \]

Der Term (1 ± 0,01) hat den Wertebereich [0,99 … 1,01]. Das entspricht [99% … 101%]. Es bildet mathematisch die Unsicherheit der Steigung von 1% des Messwerts rund um die 100% auf einen Bereich ab. Die Abbildung gibt noch keine Verteilung der Werte innerhalb des Bereichs an, es steckt nur die Grenzen des Bereichs ab.

Die Unsicherheiten sind in den Termen mit „±“ enthalten. Um die Formel so umzustellen, dass die Unsicherheiten zusammengefasst werden, multiplizieren wir die Klammer (1 ± 0,01) aus:

\[ \begin{gathered} U_{S,\mathrm{real}} = \frac{10\,\mathrm{mV}}{\mathrm{bar}} \cdot P \cdot (1 \pm 0{,}01) \pm 1\,\mathrm{mV} \\[6pt] = \frac{10\,\mathrm{mV}}{\mathrm{bar}} \cdot P \cdot 1 \pm \frac{10\,\mathrm{mV}}{\mathrm{bar}} \cdot P \cdot 0{,}01 \pm 1\,\mathrm{mV} \\[6pt] = U_{S,\mathrm{ideal}} \pm \Delta U_S \\[6pt] \text{mit } U_{S,\mathrm{ideal}} = \frac{10\,\mathrm{mV}}{\mathrm{bar}} \cdot P \\[6pt] \text{und } \Delta U_S = \pm \frac{10\,\mathrm{mV}}{\mathrm{bar}} \cdot P \cdot 0{,}01 \pm 1\,\mathrm{mV} \end{gathered} \]

Die Unsicherheit ist jetzt in ΔU_S zusammengefasst. Sie weist einen konstanten Term ±1mV auf. Dazu kommt ein Term, der abhängig vom aktuellen Druckwert P ist. Setzen wir für dieses Beispiel P = 3 bar in die Formel ein. Damit ergibt sich eine Unsicherheit der Sensorspannung von

\[ \Delta U_S = \pm \frac{10\,\mathrm{mV}}{\mathrm{bar}} \cdot 3\,\mathrm{bar} \cdot 0{,}01 \pm 1\,\mathrm{mV} = \pm 0{,}3\,\mathrm{mV} \pm 1\,\mathrm{mV} = [-1{,}3\,\mathrm{mV} \ldots 1{,}3\,\mathrm{mV}] \]

Die Abweichung der Sensorspannung von der idealen Kennlinie bei P = 3 bar liegt in diesem Intervall. Sie ist normalverteilt, erreicht also nur extrem selten die Grenzen des Intervalls und liegt sehr wahrscheinlich nah an der Mitte des Intervalls bei 0mV.

Analoge Signalverarbeitung

Angenommen der Drucksensor kann einen Druck im Bereich P = [0 bar … 10 bar] messen. Dann beträgt der Wertebereich der idealen Sensorspannung (ohne die Unsicherheit) U_S,ideal = [0mV … 100mV]. Angenommen der ADC hat die Referenzspannung U_Ref = 3V. Um das Sensorsignal in diesen Bereich optimal zu verstärken brauchen wir eine Verstärkung von v = 30.

Wir verwenden dafür einen nicht-invertierenden OP als Verstärker mit

\[ \begin{gathered} v = +30 = 1 + \frac{R_2}{R_1} \\[6pt] \text{Wahl: } R_1 = 1\,\mathrm{k\Omega},\; R_2 = 29\,\mathrm{k\Omega} \end{gathered} \]

Die Widerstände sind nicht ideal, wir nehmen erstmal welche in der 0,2%-Genauigkeitsklasse mit einem Temperaturkoeffizienten von T_K=20ppm/°C. Die Druckmessung soll bei Temperaturen von T = [-25°C .. 75°C] eingesetzt werden. Es gilt also ΔT = ±50°C rund um die 25°C als Referenztemperatur. Damit gilt für die Widerstände:

\[ \begin{gathered} \Delta R_1 = \pm 0{,}2\,\% \cdot 1\,\mathrm{k\Omega} \pm \frac{20\,\mathrm{ppm}}{{}^\circ\mathrm{C}} \cdot 1\,\mathrm{k\Omega} \cdot 50\,{}^\circ\mathrm{C} = \pm 2\,\Omega \pm 1\,\Omega = \pm 3\,\Omega \\[6pt] \Delta R_2 = \pm 0{,}2\,\% \cdot 29\,\mathrm{k\Omega} \pm \frac{20\,\mathrm{ppm}}{{}^\circ\mathrm{C}} \cdot 29\,\mathrm{k\Omega} \cdot 50\,{}^\circ\mathrm{C} = \pm 58\,\Omega \pm 29\,\Omega = \pm 87\,\Omega \\[6pt] R_1 = 1\,\mathrm{k\Omega} \pm 3\,\Omega \\[4pt] R_2 = 29\,\mathrm{k\Omega} \pm 87\,\Omega \end{gathered} \]

Der OP ist auch nicht ideal, wir nutzen einen Typ mit einer Offsetspannung von U_OS = 5µV und einem Temperaturkoeffizienten von T_K = 100nV/°C. Es gilt:

\[ U_{OS} = \pm 5\,\mathrm{\mu V} \pm 100\,\frac{\mathrm{nV}}{{}^\circ\mathrm{C}} \cdot 50\,{}^\circ\mathrm{C} = \pm 5\,\mathrm{\mu V} \pm 5\,\mathrm{\mu V} = \pm 10\,\mathrm{\mu V} \]

Die Offset-Spannung modellieren wir an den nicht-invertierenden Eingang des OPs, sie wird also vom OP mit v = 30 verstärkt.

ADC

Am 12 Bit ADC betrachten wir zur Vereinfachung nur die Referenzspannung als fehlerhaft. Die 3V-Referenz weicht initial um ±200ppm ab und hat einen Temperaturkoeffizienten von T_K = 10 ppm/°C.

\[ U_{\mathrm{Ref}} = 3\,\mathrm{V} \pm 200\,\mathrm{ppm} \cdot 3\,\mathrm{V} \pm 10\,\frac{\mathrm{ppm}}{{}^\circ\mathrm{C}} \cdot 50\,{}^\circ\mathrm{C} \cdot 3\,\mathrm{V} = 3\,\mathrm{V} \pm 0{,}6\,\mathrm{mV} \pm 1{,}5\,\mathrm{mV} = 3\,\mathrm{V} \pm 2{,}1\,\mathrm{mV} \]

Linearität, Offset und Quantisierungseffekte des ADCs werden in diesem Beispiel vernachlässigt.