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Stern- und Dreiecksschaltung

Der Effektivwert der Spannung zwischen einem L-Leiter und dem N-Leiter beträgt 230V. Es kann auch die Spannung zwischen einem L-Leiter und einem anderen L-Leiter genutzt werden. Diese Spannung nennt sich „Außenleiterspannung“ oder Dreiecksspannung U_Δ. Die Außenleiterspannung U₁₂ liegt z. B. zwischen Leiter 1 und 2 an.

Die Außenleiterspannung hat in der Energietechnik eine viel größere Bedeutung als die Steckdosenspannung. Wenn eine Spannung ohne weitere Angaben gegeben ist, dann handelt es sich immer um die Außenleiterspannung. Im Niederspannungsnetz der Steckdosen beträgt ihr Betrag ca. 400V. Die Dreiecksspannung wird aus Maschenumläufen bestimmt. Dazu folgende Herleitung:

Drehspannungsnetz mit Sternspannungen U1, U2, U3 und Außenleiterspannungen U12, U23, U31 sowie deren Zeiger

\[ \begin{gathered} \text{Maschenumläufe in der linken Abbildung:} \\[4pt] u_{12} = u_1 - u_2 = \hat{u} - \hat{u}\left(-\frac{1}{2} - j\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \hat{u}\left(\frac{3}{2} + j\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\[4pt] u_{23} = u_2 - u_3 = \hat{u}\left(-\frac{1}{2} - j\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \hat{u}\left(-\frac{1}{2} + j\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -j\sqrt{3}\,\hat{u} \\[4pt] u_{31} = u_3 - u_1 = \hat{u}\left(-\frac{1}{2} + j\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \hat{u} = \hat{u}\left(-\frac{3}{2} + j\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\[6pt] |u_{12}| = \hat{u}\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{3}\,\hat{u} \\[4pt] |u_{23}| = \sqrt{3}\,\hat{u} \\[4pt] |u_{31}| = \hat{u}\sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{3}\,\hat{u} \\[6pt] u_{12} = \sqrt{3}\,\hat{u} \cdot e^{j\frac{\pi}{6}} \\[4pt] u_{23} = \sqrt{3}\,\hat{u} \cdot e^{-j\frac{\pi}{2}} = -j\sqrt{3}\,\hat{u} \\[4pt] u_{31} = \sqrt{3}\,\hat{u} \cdot e^{j\frac{5\pi}{6}} \\[6pt] \text{Am Netz gilt: } |U_{LL}| = \sqrt{3} \cdot U_{LN} = \sqrt{3} \cdot 230\,\mathrm{V} = 398\,\mathrm{V} \approx 400\,\mathrm{V} \end{gathered} \]

Die Dreiecks-Spannungen zwischen den L-Leitern sind um Faktor Wurzel (3) größer als die Stern-Spannungen zwischen den L-Leitern und dem N-Leiter. Sie weisen andere Phasenwinkel auf. Sie sind aber zueinander wieder um 120° gedreht.

Sie können die Längen und die Phasenwinkel der Dreiecksspannungen auch durch grafisches Addieren bzw. Subtrahieren der Stern-Spannungen im Kreisdiagramm nachvollziehen. Für u₃₁ müssen Sie u₃ – u₁ rechnen. Ein Minus-Zeichen dreht um 180°, es dreht immer nur die Pfeilrichtung um. Also drehen Sie u₁ um und addieren anschließend die Pfeile:

Grafische Ermittlung von u31(ω) aus u3(ω) und −u1(ω) im Zeigerdiagramm

Im Zeitbereich sehen die Verläufe folgendermaßen aus:

Zeitverläufe der Sternspannungen u1, u2, u3 und der Außenleiterspannungen u12, u23, u31

Für die Berechnung in der Praxis interessieren vor allem die Effektivwertzeiger der Spannungen. Sie kombinieren den Effektivwert mit dem Phasenwinkel. Es gilt für das Niederspannungsnetz mit |U| = 400V:

\[ \begin{gathered} |U| = U = 400\,\mathrm{V} \\[4pt] U_1 = \frac{U}{\sqrt{3}} \cdot e^{j0} \\[4pt] U_2 = \frac{U}{\sqrt{3}} \cdot e^{-j\frac{2}{3}\pi} \\[4pt] U_3 = \frac{U}{\sqrt{3}} \cdot e^{j\frac{2}{3}\pi} \\[4pt] U_{12} = U \cdot e^{j\frac{\pi}{6}} \\[4pt] U_{23} = U \cdot e^{-j\frac{\pi}{2}} \\[4pt] U_{31} = U \cdot e^{j\frac{5\pi}{6}} \end{gathered} \]

Da keine weiteren Angaben zur Spannung gemacht worden sind, handelt es sich bei der Angabe U = 400V immer um den Betrag des Effektivwertzeigers der Außenleiterspannung.