Kondensator und Spule
Wenden wir die Erkenntnisse aus dem letzten Kapitel auf Kondensatoren und Spulen an.
Kondensator
Am Kondensator gilt:
\[
\begin{gathered}
u_C(t) = U_{C0} + \frac{1}{C} \int i_C(t)\,dt \\[6pt]
\text{Annahme Kondensatorstrom: } i_C(t) = \hat{\imath}_C \cdot \sin(\omega t) \\[6pt]
u_C(t) = U_{C0} + \frac{1}{C} \cdot \frac{1}{\omega} \cdot \hat{\imath}_C \cdot \left[-\cos(\omega t)\right] \\[6pt]
\text{Leerer Kondensator: } U_{C0} = 0\,\mathrm{V} \\[6pt]
u_C(t) = \frac{1}{\omega C} \cdot \hat{\imath}_C \cdot \left[-\cos(\omega t)\right] \\[6pt]
\text{Spitzenwerte: } \hat{u}_C = \frac{1}{\omega C} \cdot \hat{\imath}_C
\end{gathered}
\]
Der Spitzenwert der Spannung hängt vom Spitzenwert des Stroms, von der Kreisfrequenz Omega und der Kapazität des Kondensators ab. Vergleichen wir das mal mit dem Ohm´schen Gesetz.
\[
\begin{gathered}
\text{Ohm'sches Gesetz: } U = R \cdot I \\[6pt]
R = \frac{U}{I} \\[6pt]
\text{Kondensator: } \hat{u}_C = \frac{1}{\omega C} \cdot \hat{\imath}_C \\[6pt]
\text{Reaktanz: } X_C = \frac{\hat{u}_C}{\hat{\imath}_C} = \frac{1}{\omega C} \\[6pt]
\hat{u}_C = X_C \cdot \hat{\imath}_C
\end{gathered}
\]
Der Zusammenhang zwischen den Spitzenwerten von Spannung und Strom am Kondensator wird durch die „Reaktanz“ XC abgebildet.
Spule
An der Spule gilt sehr ähnlich wie beim Kondensator:
\[
\begin{gathered}
i_L(t) = I_{L0} + \frac{1}{L} \int u_L(t)\,dt \\[6pt]
\text{Annahme Spulenspannung: } u_L(t) = \hat{u}_L \cdot \sin(\omega t) \\[6pt]
i_L(t) = I_{L0} + \frac{1}{L} \cdot \frac{1}{\omega} \cdot \hat{u}_L \cdot \left[-\cos(\omega t)\right] \\[6pt]
\text{Stromlose Spule: } I_{L0} = 0\,\mathrm{A} \\[6pt]
i_L(t) = \frac{1}{\omega L} \cdot \hat{u}_L \cdot \left[-\cos(\omega t)\right] \\[6pt]
\text{Spitzenwerte: } \hat{\imath}_L = \frac{1}{\omega L} \cdot \hat{u}_L \rightarrow \hat{u}_L = \omega L \cdot \hat{\imath}_L \\[6pt]
\text{Ohm'sches Gesetz: } \hat{u}_L = \omega L \cdot \hat{\imath}_L = X_L \cdot \hat{\imath}_L \\[6pt]
\text{Reaktanz: } X_L = \frac{\hat{u}_L}{\hat{\imath}_L} = \omega L
\end{gathered}
\]
Zusammenfassung Reaktanzen
Wenn nur Widerstände in einem Netzwerk mit einer Wechselspannungsquelle verbaut sind, dann gilt an den Widerständen das „normale“ Ohm´sche Gesetz. Bei Spule und Kondensator gilt ebenfalls das Ohm´sche Gesetz, nur mit der Reaktanz X statt dem Widerstand R.
\[
\begin{gathered}
\text{Widerstand: } \hat{u}_R = R \cdot \hat{\imath}_R \\[6pt]
\text{Kondensator: } \hat{u}_C = X_C \cdot \hat{\imath}_C \text{ mit } X_C = \frac{1}{\omega C} \\[6pt]
\text{Spule: } \hat{u}_L = X_L \cdot \hat{\imath}_L \text{ mit } X_L = \omega L
\end{gathered}
\]