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Blindleistungskompensation aus dem Strom

Es gibt eine gesetzliche Vorgabe für Anlagen mit großer Leistung: cos(φ) ≥ 0,95. Mit dieser Vorgabe wird das Netz vor zu viel Blindleistung geschützt. Es kommt vor, dass z. B. an einem Motor zu viel Blindleistung erzeugt wird und cos(φ) zu klein ist. Dann brauchen wir ein lokales Kompensationsnetzwerk, damit die Speicher lokal am Verbraucher umgeladen werden.

Wir betrachten dafür erneut die Last aus dem vorherigen Kapitel:

Last aus drei Strängen R und L in Sternschaltung am Netzanschluss L1, L2, L3, N

\[ \begin{gathered} U_1 = \frac{400\,\mathrm{V}}{\sqrt{3}} \cdot e^{j0} = \frac{400\,\mathrm{V}}{\sqrt{3}} \\[4pt] Z_1 = R + j\omega L = (1 + j)\,\Omega = \sqrt{2} \cdot e^{j\pi/4} \\[4pt] I_1 = I_{1L} = \frac{U_1}{Z_1} = \frac{\frac{400\,\mathrm{V}}{\sqrt{3}}}{\sqrt{2}\,\Omega \cdot e^{j\pi/4}} = 163{,}3\,\mathrm{A} \cdot e^{-j\pi/4} \\[4pt] \varphi = \varphi_U - \varphi_I = 0 - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4} \\[4pt] \cos(\varphi) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} = 0{,}71 \ll 0{,}95 \end{gathered} \]

Für die Blindleistungskompensation bauen wir direkt am Netzanschluss der Last folgendes kapazitives Kompensationsnetzwerk auf:

Blindleistungskompensation: drei Kondensatoren C in Sternschaltung am Netzanschluss, Strom I1B in den Kondensator

In einen Kondensator fließt nur (kapazitiver) Blindstrom hinein. Das ist Strom, der gegenüber der Spannung um einen positiven Phasenwinkel verschoben ist. Damit gilt für die Phase zwischen Spannung und Strom:

Kondensatoren C der Blindleistungskompensation am Netzanschluss mit dem Strom I1B

\[ \begin{gathered} U_1 = \frac{400\,\mathrm{V}}{\sqrt{3}} \cdot e^{j0} = \frac{400\,\mathrm{V}}{\sqrt{3}} \\[4pt] Z_C = \frac{1}{j\omega C} = -j\frac{1}{\omega C} = \frac{1}{\omega C} \cdot e^{-\frac{j\pi}{2}};\; \varphi_Z = -\frac{\pi}{2} \\[4pt] I_1 = I_{1B} = \frac{U_1}{Z_C} = \frac{\frac{400\,\mathrm{V}}{\sqrt{3}}}{\frac{1}{\omega C} \cdot e^{-\frac{j\pi}{2}}} = \frac{400\,\mathrm{V} \cdot \omega C}{\sqrt{3}} \cdot e^{\frac{j\pi}{2}} \\[4pt] \varphi_I = \frac{\pi}{2} \\[4pt] \varphi = \varphi_U - \varphi_I = 0 - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} \end{gathered} \]

Der Kondensator ergänzt einen Strom an den Netzanschlüssen mit negativer Phase zwischen Spannung und Strom. Die (Motor-)Last weist eine positive Phase zwischen Spannung und Strom auf. Wir können den Strom in die Kondensatoren so einstellen, dass sich die Phasen insgesamt kompensieren. Dazu betrachten wir exemplarisch die Knotengleichung für den Außenleiterstrom Strom I₁:

Last und Blindleistungskompensation am Netzanschluss: der Netzstrom I1 teilt sich in I1L und I1B auf

\[ I_1 \text{ (Netzstrom)} = I_{1L} \text{ (in die Last)} + I_{1B} \text{ (in den Kondensator)} \]

\[ \begin{gathered} \text{Aus dem Beispiel oben:} \\[2pt] I_{1L} = \frac{U_1}{Z_1} = \frac{\frac{400\,\mathrm{V}}{\sqrt{3}}}{\sqrt{2} \cdot e^{j\frac{\pi}{4}}} = 163{,}3\,\mathrm{A} \cdot e^{-j\frac{\pi}{4}} \\[4pt] \cos(\varphi_{IL}) = 0{,}71 \text{ (ind)} \end{gathered} \]

\[ \begin{gathered} \text{Kompensationsnetzwerk:} \\[2pt] I_{1B} = \frac{U_1}{Z_C} = \frac{\frac{400\,\mathrm{V}}{\sqrt{3}}}{\frac{1}{\omega C} \cdot e^{-j\frac{\pi}{2}}} = \frac{400\,\mathrm{V} \cdot \omega C}{\sqrt{3}} \cdot e^{j\frac{\pi}{2}} \end{gathered} \]

Die Herausforderung besteht darin, den cos(φ) mindestens auf 0,95 zu bekommen. Dafür muss der Blindstromanteil der Last durch die Blindleistungskompensation reduziert werden. Errechnen wir zunächst den Wirkstrom und den Blindstrom an der Last:

\[ \begin{gathered} \mathrm{Im}\{I_{1L}\} = \mathrm{Im}\left\{163{,}3\,\mathrm{A} \cdot e^{-j\frac{\pi}{4}}\right\} = 163{,}3\,\mathrm{A} \cdot \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -115{,}5\,\mathrm{A} \\[4pt] \mathrm{Re}\{I_{1L}\} = \mathrm{Re}\left\{163{,}3\,\mathrm{A} \cdot e^{-j\frac{\pi}{4}}\right\} = 163{,}3\,\mathrm{A} \cdot \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 115{,}5\,\mathrm{A} \\[4pt] \varphi_{IL} = -\frac{\pi}{4} \end{gathered} \]

Zeiger des Laststroms I1L mit Realteil und Imaginärteil im Kreis mit Radius 163,3 A

Wir ändern den Blindstrom, nicht den Wirkstrom. Der Wirkstrom muss bei der Blindleistungskompensation unverändert bleiben. Der Blindstrom darf bei cos(φ) = 0,95 und unverändertem Wirkstrom maximal folgenden Wert annehmen:

\[ \begin{gathered} \text{Berechnung der zulässigen Phasenverschiebung an Leiter 1:} \\[2pt] \text{Problem an der Last: } \cos(\varphi_L) = 0{,}71 \text{ (ind)} \rightarrow \varphi_L = 45^\circ,\; \varphi_{IL} = -45^\circ \\[4pt] \text{Ziel am Netz an } L_1\text{: } \cos(\varphi_1) = 0{,}95 \rightarrow \varphi_1 = \arccos(0{,}95) = 18^\circ,\; \varphi_{I1} = -18^\circ \end{gathered} \]

\[ \begin{gathered} \text{Berechnung des maximalen Stroms } I_1 \text{ am Netzanschluss:} \\[2pt] \text{unveränderter Wirkstrom in die Last: } \mathrm{Re}\{I_{1L}\} = 115{,}5\,\mathrm{A} \\[2pt] \text{zulässiger Blindstrom in die Last, der zu } \cos(\varphi_1) = 0{,}95 \text{ führt:} \\[4pt] \tan(\varphi_1) = \tan(-18^\circ) = \frac{\mathrm{Im}\{I_{1L}\}}{\mathrm{Re}\{I_{1L}\}} = -0{,}33 \\[4pt] \text{Umgestellt: } \mathrm{Im}\{I_1\}_{\mathrm{Max}} = \mathrm{Re}\{I_{1L}\} \cdot \tan(\varphi_1) = 115{,}5\,\mathrm{A} \cdot (-0{,}33) = -38{,}12\,\mathrm{A} \\[2pt] \text{An der Last führt bei Wirkstrom } 115{,}5\,\mathrm{A} \text{ ein Blindstrom von } -38{,}12\,\mathrm{A} \text{ zu } \cos(\varphi_1) = 0{,}95 \end{gathered} \]

\[ \begin{gathered} \text{Notwendiger Blindstrom in den Kondensator (Knotenregel):} \\[2pt] \mathrm{Im}\{I_{1B}\} = \mathrm{Im}\{I_1\}_{\mathrm{Max}} - \mathrm{Im}\{I_{1L}\} = -38{,}12\,\mathrm{A} - (-115{,}5\,\mathrm{A}) = 77{,}39\,\mathrm{A} \\[4pt] \text{Kondensatorstrom (blau): } I_{1B} = 77{,}39\,\mathrm{A} \cdot e^{j\frac{\pi}{2}} = j77{,}39\,\mathrm{A} \end{gathered} \]

Zeiger von Laststrom I1L, Kondensatorstrom I1B und kompensiertem Netzstrom I1

\[ \begin{gathered} \text{Damit erreicht: } \varphi_{I1} = -18^\circ,\; \cos(\varphi_1) = 0{,}95 \text{ (ind)} \end{gathered} \]

\[ \begin{gathered} \text{Berechnung der notwendigen Kapazität für diesen Strom:} \\[2pt] \text{Netzfrequenz } f = 50\,\mathrm{Hz} \rightarrow \omega = 2\pi f = 314{,}16\,\frac{1}{\mathrm{s}} \\[4pt] I_{1B} = \frac{U_1}{Z_C} = \frac{U_1}{\frac{1}{j\omega C}} = j\omega C U_1 \\[6pt] C = \frac{I_{1B}}{j\omega U_1} = \frac{j77{,}39\,\mathrm{A}}{j314{,}16\,\frac{1}{\mathrm{s}} \cdot \frac{400\,\mathrm{V}}{\sqrt{3}}} = 1{,}07\,\mathrm{mF} \end{gathered} \]

Simulation

Die Zahlenwerte aus dem Beispiel gelten natürlich nicht allgemein. Das Verfahren zur Berechnung des Kondensators aber schon. Es gelten folgende allgemeine Formeln:

\[ \begin{gathered} \tan(\varphi) = \frac{\mathrm{Im}\{X\}}{\mathrm{Re}\{X\}}\text{, gilt für Ströme, Spannungen und Leistungen} \\[4pt] \text{Allgemeine Phasengleichung: } \varphi = \varphi_U - \varphi_I \\[4pt] \varphi_U = 0 \text{ gilt nur an Phase 1 in Sternschaltung} \end{gathered} \]

\[ \begin{gathered} \cos(\varphi) = \frac{P}{|S|} \\[4pt] \text{Für Ströme gilt:} \\[2pt] \tan(\varphi_I) = \frac{\mathrm{Im}\{I\}}{\mathrm{Re}\{I\}} \\[4pt] \cos(\varphi_I) = \frac{\mathrm{Re}\{I\}}{I} \\[4pt] \sin(\varphi_I) = \frac{\mathrm{Im}\{I\}}{I} \end{gathered} \]

\[ \begin{gathered} \omega = 2\pi f \text{ mit } f = 50\,\mathrm{Hz} \text{ bei Drehstrom} \\[4pt] I = \frac{U}{Z},\; Z_R = R,\; Z_L = j\omega L,\; Z_C = \frac{1}{j\omega C} = -j\frac{1}{\omega C} \end{gathered} \]