Netzwerke mit Impedanzen

Bisher haben Sie Netzwerke mit Gleichspannung und Gleichstrom berechnet. Sie haben dazu Gesetze und Regeln kennengelernt. Diese gelten alle auch in Wechselspannungs-Netzwerken. Nur rechnen Sie darin mit komplexen Impedanzen, komplexen Spannungen und komplexen Strömen.

Betrachten wir als Beispiel folgendes Netzwerk:

\[ \omega = 10\,\mathrm{k}\frac{1}{\mathrm{s}};\; u_0(\omega) = 5\,\mathrm{V};\; R = 3\,\Omega;\; C = 33\,\mathrm{\mu F};\; L = 150\,\mathrm{\mu H} \]

Netzwerk: Quelle u0 mit Strom i0, Parallelschaltung aus C und R in Reihe mit der Spule L

\[ \begin{gathered} Z_R = 3\,\Omega \\[6pt] Z_L = j\omega L = j10\,\mathrm{k}\frac{1}{\mathrm{s}} \cdot 150\,\mathrm{\mu H} = j\frac{3}{2}\,\Omega \\[6pt] Z_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{1}{j10\,\mathrm{k}\frac{1}{\mathrm{s}} \cdot 33\,\mathrm{\mu F}} = -j3\,\Omega \end{gathered} \]

Genau wie bei Gleichstromnetzwerken können wir zunächst den Quellenstrom i₀ und anschließend die Spannungen und Ströme an den Bauelementen berechnen. Fassen wir zunächst die Impedanzen zusammen:

\[ \begin{gathered} \text{Berechnung: } Z_{\mathrm{Ges}} = Z_R || Z_C + Z_L \\[6pt] \text{Teil 1: } Z_R || Z_C = \frac{Z_R \cdot Z_C}{Z_R + Z_C} = \frac{R \cdot \frac{1}{j\omega C}}{R + \frac{1}{j\omega C}} = \frac{3\,\Omega \cdot (-j3\,\Omega)}{3\,\Omega - j3\,\Omega} \end{gathered} \]

\[ \begin{gathered} \text{Variante 1: Umwandlung der Terme in Normalform} \\[4pt] \text{Im Nenner gilt: } 3\,\Omega - j3\,\Omega = \sqrt{2} \cdot 3\,\Omega \cdot e^{-j\frac{\pi}{4}} \\[4pt] \text{Im Zähler gilt: } 3\,\Omega \cdot (-j3\,\Omega) = 9\,\Omega^2 \cdot e^{-j\frac{\pi}{2}} \\[6pt] Z_R || Z_C = \frac{9\,\Omega^2 \cdot e^{-j\frac{\pi}{2}}}{\sqrt{2} \cdot 3\,\Omega \cdot e^{-j\frac{\pi}{4}}} = \frac{3}{\sqrt{2}}\,\Omega \cdot e^{-j\frac{\pi}{2} - \left(-j\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{3}{\sqrt{2}}\,\Omega \cdot e^{-j\frac{\pi}{4}} = \frac{3}{2}\,\Omega - j\frac{3}{2}\,\Omega \end{gathered} \]

\[ \begin{gathered} \text{Variante 2: Zähler und Nenner konjugiert komplex erweitern:} \\[4pt] Z_R || Z_C = \frac{3\,\Omega \cdot (-j3\,\Omega)}{3\,\Omega - j3\,\Omega} \text{ (von weiter oben übernommen)} \\[6pt] \frac{3\,\Omega \cdot (-j3\,\Omega)}{(3\,\Omega - j3\,\Omega)} \cdot \frac{(3\,\Omega + j3\,\Omega)}{(3\,\Omega + j3\,\Omega)} = \frac{(-j9\,\Omega^2) \cdot (3\,\Omega + j3\,\Omega)}{(3\,\Omega)^2 + (3\,\Omega)^2} = \frac{-j27\,\Omega^3 + 27\,\Omega^3}{18\,\Omega^2} = \frac{3}{2}\,\Omega - j\frac{3}{2}\,\Omega \end{gathered} \]

\[ Z_{\mathrm{Ges}} = Z_R || Z_C + Z_L = \frac{3}{2}\,\Omega - j\frac{3}{2}\,\Omega + j\frac{3}{2}\,\Omega = \frac{3}{2}\,\Omega \]

In der Rechnung oben mussten wir zwei komplexe Zahlen dividieren. Dafür habe ich Ihnen zwei Wege vorgerechnet: Die Umwandlung in die Normalform und das Erweitern von Zähler und Nenner um den konjugiert komplexen Wert des Nenners.

Die Impedanz im Beispiel ist insgesamt rein reell, denn die imaginären Anteile von Spule und Kondensator heben sich gegenseitig genau auf. Das ist nicht in allen Aufgaben so, nur in diesem Beispiel. Anschließend berechnen wir aus der Gesamtimpedanz den Quellenstrom und alle Ströme und Spannungen im Netzwerk:

\[ \begin{gathered} i_0(\omega) = \frac{u_0(\omega)}{Z_{\mathrm{Ges}}} = \frac{5\,\mathrm{V}}{\frac{3}{2}\,\Omega} = \frac{10}{3}\,\mathrm{A} = 3{,}33\,\mathrm{A} \\[6pt] i_L(\omega) = i_0(\omega) = 3{,}33\,\mathrm{A} \\[6pt] u_L(\omega) = Z_L \cdot i_L(\omega) = j\frac{3}{2}\,\Omega \cdot 3{,}33\,\mathrm{A} = j5\,\mathrm{V} \\[6pt] \text{Maschengleichung: } u_0(\omega) = U_{RC}(\omega) + u_L(\omega) \\[6pt] U_{RC}(\omega) = U_R = U_C = u_0(\omega) - u_L(\omega) = 5\,\mathrm{V} - j5\,\mathrm{V} \\[6pt] \text{Bauelementgleichung: } i_R(\omega) = \frac{u_R(\omega)}{Z_R} = \frac{5\,\mathrm{V} - j5\,\mathrm{V}}{3\,\Omega} = \frac{5 - j5}{3}\,\mathrm{A} = 1{,}67\,\mathrm{A} - j1{,}67\,\mathrm{A} \\[6pt] \text{Knotengleichung: } i_C(\omega) = i_0(\omega) - i_R(\omega) = \frac{10}{3}\,\mathrm{A} - \left(\frac{5 - j5}{3}\,\mathrm{A}\right) = \frac{5 + j5}{3}\,\mathrm{A} = 1{,}67\,\mathrm{A} + j1{,}67\,\mathrm{A} \end{gathered} \]

Simulation

Damit sind alle Spannungen und Ströme an den Bauelementen im Netzwerk berechnet. Sie sehen, dass die Schwierigkeit vor allem im Rechnen mit komplexen Zahlen liegt. Das kann heute ein guter Taschenrechner übernehmen.