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Berechnung eines Betriebspunkts

Bei einer elektrischen Maschine geben wir ein Antriebsmoment vor. Durch das Antriebsmoment ändert sich die Drehzahl. Das ist wie beim Autofahren. Mit dem Gaspedal stellen Sie nicht die Geschwindigkeit ein. Sie variieren damit, wie stark das Auto beschleunigt. Sie geben auch beim Auto ein Antriebsmoment vor, also eine Kraft. Die Geschwindigkeit stellt sich dann je nach Motorleistung, Steigung, Fahrzeuggewicht usw. ein.

Die Geschwindigkeit steckt im Parameter ω = 2πf. Die Frequenz f gibt an, wie oft sich die Achse des Motors pro Sekunde dreht. Die Drehzahl der Achse wird bei einer elektrischen Maschine von einem Drehzahlsensor gemessen. Der Parameter ω ist also für die Ansteuerung der Maschine bekannt.

Betrachten wir alle wichtigen Gleichungen aus den letzten Kapiteln:

\[ \begin{gathered} U_S = U_d + jU_q = -\omega L_q \cdot I_q + j\omega(\Psi_{PM} + L_d \cdot I_d) \\[4pt] M = \frac{3}{2} \cdot \left(I_q \cdot \Psi_{\mathrm{PM}} + I_d \cdot I_q \cdot (L_d - L_q)\right) \\[6pt] \text{Bekannte Maschinenparameter: } \Psi_{\mathrm{PM}}, L_d, L_q \text{ und } \gamma_{\mathrm{Optimal}} \\[4pt] \text{Im Betrieb gemessene Parameter: } \omega, I_d \text{ und } I_q \\[4pt] \text{Eingriff in das System: Spannung am Wechselrichter } U_S \end{gathered} \]

Betrachten wir als Beispiel ein Elektroauto. Es wird von einer elektrischen Maschine angetrieben. Die Energie wird in einer Batterie gespeichert. Betrachten wir zunächst die Batterie:

\[ U_{\mathrm{Batt}} = [300\,\mathrm{V} \ldots 400\,\mathrm{V}] \]

Statorspannung US(t) zwischen 0 V und UBatt mit dem Spitzenwert ÛS = UBatt/2

\[ \text{Maximaler Spitzenwert der Statorspannung: } U_{S,\max} = \frac{1}{2} U_{\mathrm{Batt}} = [150\,\mathrm{V} \ldots 200\,\mathrm{V}] \]

Aus der verfügbaren (DC) Batteriespannung wird im Wechselrichter die (AC) Statorspannung erzeugt. Einfache Ansteuerverfahren ermöglichen einen Spitzenwert der Wechselspannung in Höhe der halben Batteriespannung. Hinweis: Im Fach Leistungselektronik lernen Sie, wie der Spitzenwert der Statorspannung durch geschickte Ansteuerung der Maschine weiter erhöht werden kann.

Für die elektrische Maschine des Autos liegen folgende Beispiel-Werte vor:

\[ \begin{gathered} L_d = 200\,\mathrm{\mu H} \\[4pt] L_q = 400\,\mathrm{\mu H} \\[4pt] \Psi_{\mathrm{PM}} = 200\,\mathrm{mVs} \\[4pt] \gamma_{\mathrm{Optimal}} = 115^\circ \text{ (hängt von } L_d, L_q \text{ und } \Psi_{\mathrm{PM}} \text{ ab)} \end{gathered} \]

Die Maschinenparameter sind nicht konstant. In der Praxis hängen Sie vom Strom, der Kreisfrequenz ω und von der Temperatur ab. Deshalb werden diese Parameter in Form von Kennfeldern im Motorsteuergerät abgelegt. Wir rechnen dieses Beispiel mit konstanten Werten.

Ermittlung des Soll-Statorstroms

Das Auto hat bereits eine Geschwindigkeit v. Es liegt ein Beispiel-Messwert für ω = 800 1/s vor, der proportional zur Geschwindigkeit ist. Sie drücken aufs Gaspedal und geben damit der Maschine eine Sollmoment vor. Aus der Momentengleichung erhalten Sie einen Soll-Statorstrom, indem Sie alle Parameter einsetzen:

\[ \begin{gathered} \text{Beispiel: } M_{\mathrm{Soll}} = 92\,\mathrm{Nm} \\[4pt] \text{Errechnet: Soll-Statorstrom } I_S \approx 300\,\mathrm{A} \\[4pt] I_d = I_S \cdot \cos(\gamma_{\mathrm{Optimal}}) = -127\,\mathrm{A} \\[4pt] I_q = I_S \cdot \sin(\gamma_{\mathrm{Optimal}}) = 272\,\mathrm{A} \end{gathered} \]

Soll-Statorstrom IS mit den Anteilen Id und Iq unter dem Winkel γ

Ermittlung der Statorspannung

Durch Einsetzen der Stromwerte in die Maschengleichung erhalten wir die zugehörige Statorspannung:

\[ \begin{gathered} \omega = 800\,1/\mathrm{s} \\[4pt] U_S = U_d + jU_q = -\omega L_q \cdot I_q + j\omega(\Psi_{PM} + L_d \cdot I_d) \\[4pt] U_d = -\omega L_q \cdot I_q = -87\,\mathrm{V} \\[4pt] U_q = \omega(\Psi_{PM} + L_d \cdot I_d) = 140\,\mathrm{V} \\[4pt] |U_S| = \sqrt{(U_d)^2 + (U_q)^2} = 165\,\mathrm{V} \\[6pt] \text{Phase der Statorspannung: } \varphi_{US} = \arctan\left(\frac{\mathrm{Im}\{U_S\}}{\mathrm{Re}\{U_S\}}\right) = \arctan\left(\frac{U_q}{U_d}\right) = 122^\circ \end{gathered} \]

Feldschwächung

Bei vollgeladener Batterie (400V) kann der Wechselrichter die geforderte Spannung bereitstellen. Ist die Batterie leer (300V), dann geht das nicht mehr.

\[ \begin{gathered} \text{Batterie voll: } |U_S| = 165\,\mathrm{V} < \frac{U_{\mathrm{Batt}}}{2} = 200\,\mathrm{V} \\[6pt] \text{Batterie leer: } |U_S| = 165\,\mathrm{V} > \frac{U_{\mathrm{Batt}}}{2} = 150\,\mathrm{V} \end{gathered} \]

Bei leerer Batterie müssen wir in den Feldschwäch-Betrieb wechseln. Dafür erhöhen wir den Betrag des negativen d-Stroms, so dass die q-Spannung sinkt.

\[ \begin{gathered} U_S = -\omega L_q \cdot I_q + j\omega\textcolor{#c00000}{(\Psi_{PM} + L_d \cdot I_d)} \\[4pt] \textcolor{#c00000}{\text{negatives } I_d \text{ erhöhen} \rightarrow \Psi_{PM} + L_d \cdot \boldsymbol{I_d} \text{ wird kleiner}} \\[6pt] \text{Vorher: } I_d = -127\,\mathrm{A} \text{ und } I_q = 272\,\mathrm{A} \\[4pt] U_q = \omega(\Psi_{PM} + L_d \cdot I_d) = 140\,\mathrm{V} \\[4pt] |U_S| = 165\,\mathrm{V} \\[4pt] M = 92\,\mathrm{Nm} \end{gathered} \]

\[ \begin{gathered} \text{Feldschwächung: } \textcolor{#c00000}{I_d = -220\,\mathrm{A}} \text{ und } I_q = 272\,\mathrm{A} \\[4pt] U_q = \omega(\Psi_{PM} + L_d \cdot I_d) = 125\,\mathrm{V} \\[4pt] |U_S| = 152\,\mathrm{V} \\[4pt] M = 100\,\mathrm{Nm} \end{gathered} \]

\[ \begin{gathered} \text{Feldschwächung mit reduziertem q-Strom: } \textcolor{#c00000}{I_d = -220\,\mathrm{A} \text{ und } I_q = 250\,\mathrm{A}} \\[4pt] U_q = \omega(\Psi_{PM} + L_d \cdot I_d) = 125\,\mathrm{V} \\[4pt] |U_S| = 148\,\mathrm{V} \\[4pt] M = 92\,\mathrm{Nm} \end{gathered} \]

Durch die Erhöhung des d-Stroms sinkt zunächst die q-Spannung am Stator. Zusätzlich steigt das Reluktanzmoment an. Damit steigt das Gesamtmoment an. Wir bekommen in Feldschwächung immer auch ein höheres Moment. Deshalb kann der q-Strom etwas reduziert werden, was wiederum die Statorspannung etwas reduziert.

Durch die Feldschwächung haben wir erreicht, dass die Statorspannung auch bei leerer Batterie vom Wechselrichter erzeugt werden kann.

Zusammenfassung

Zunächst wird aus den Maschinenparametern, dem Sollmoment und der Kreisfrequenz der notwendige Statorstrom aus der Momentengleichung ermittelt. Anschließend wird die dafür notwendige Statorspannung bestimmt. Ist die Statorspannung größer als die halbe Batteriespannung, müssen wir zusätzlichen negativen d-Strom in Feldschwächung investieren. Dies erhöht zusätzlich das Reluktanzmoment, weshalb anschließend der q-Strom etwas reduziert werden kann.