Elektrotechnik BMT & UFC › Vereinfachte Wechselstromrechnung

Rechnen mit Reaktanzen

Betrachten wir jetzt für Widerstand, Spule und Kondensator jeweils die Spannungen, wenn der Strom ein Sinus ist:

Widerstand

\[ \begin{gathered} i(t) = 1\,\mathrm{mA} \cdot \sin(\omega t) \\[4pt] \text{Widerstand: } R = 10\,\Omega \\[4pt] u_R(t) = R \cdot i(t) = 10\,\Omega \cdot 1\,\mathrm{mA} \cdot \sin(\omega t) = 10\,\mathrm{mV} \cdot \sin(\omega t) \\[4pt] \text{Spitzenwert: } \hat{u}_R = R \cdot \hat{\imath} = 10\,\Omega \cdot 1\,\mathrm{mA} = 10\,\mathrm{mV} \end{gathered} \]

Am Widerstand ist die Spannung ein Sinus, wenn der Strom ein Sinus ist.

Kondensator

\[ \begin{gathered} \text{Strom: } i(t) = 1\,\mathrm{mA} \cdot \sin(\omega t) \\[4pt] \text{Kapazität: } C = 100\,\text{µF} \\[4pt] f = 50\,\mathrm{Hz} \rightarrow \omega = 2\pi f = 314\,\frac{1}{\mathrm{s}} \\[6pt] X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{314\,\frac{1}{\mathrm{s}} \cdot 100\,\text{µF}} = 31{,}83\,\Omega \\[6pt] \text{Spitzenwert: } \hat{u}_C = X_C \cdot \hat{\imath} = 31{,}83\,\Omega \cdot 1\,\mathrm{mA} = 31{,}83\,\mathrm{mV} \end{gathered} \]

Welche Signalform wird die Kondensatorspannung haben, wenn der Strom ein Sinus ist? Der Strom wird integriert, und das Integral von Sinus ist „Minus Cosinus“. Es gilt:

\[ \begin{gathered} u_C(t) \sim \int i(t)\,dt = \int \sin(\omega t)\,dt \sim -\cos(\omega t) \\[6pt] u_C(t) = \color{#c00000}{-}\hat{u}_C \cdot \cos(\omega t) = \color{#c00000}{-}31{,}83\,\mathrm{mV} \cdot \cos(\omega t) \end{gathered} \]

Ist der Strom am Kondensator ein Sinus, dann ist die Spannung ein „Minus Cosinus“.

Spule

\[ \begin{gathered} \text{Strom: } i(t) = 1\,\mathrm{mA} \cdot \sin(\omega t) \\[4pt] \text{Induktivität: } L = 10\,\mathrm{mH} \\[4pt] f = 50\,\mathrm{Hz} \rightarrow \omega = 2\pi f = 314\,\frac{1}{\mathrm{s}} \\[6pt] X_L = \omega L = 314\,\frac{1}{\mathrm{s}} \cdot 10\,\mathrm{mH} = 3{,}183\,\Omega \\[6pt] \text{Spitzenwert: } \hat{u}_L = X_L \cdot \hat{\imath} = 3{,}183\,\Omega \cdot 1\,\mathrm{mA} = 3{,}183\,\mathrm{mV} \end{gathered} \]

Welche Signalform wird die Spulenspannung haben, wenn der Strom ein Sinus ist? Der Strom wird abgeleitet, und die Ableitung von Sinus ist Cosinus. Es gilt:

\[ \begin{gathered} u_L(t) \sim \frac{di}{dt} = \frac{d}{dt} \sin(\omega t) \sim \cos(\omega t) \\[6pt] u_L(t) = \hat{u}_L \cdot \cos(\omega t) = 3{,}183\,\mathrm{mV} \cdot \cos(\omega t) \end{gathered} \]

Ist der Strom am Kondensator ein Sinus, dann ist die Spannung ein (positiver) Cosinus.

Kondensator und Spule verhalten sich bis auf das Vorzeichen gleich, sie machen aus einem Sinus-Strom eine +/- Cosinus Spannung. Ein Widerstand macht aus einem Sinus-Strom eine Sinus-Spannung.

Addition und Multiplikation von Widerstand und Reaktanz

Wir müssen z. B. für die Berechnungen des Gesamtwiderstands in einer Reihenschaltung Widerstände addieren. In Parallelschaltung müssen wir addieren und Multiplizieren. Es gilt in Gleichspannungsnetzwerken:

\[ \text{Reihenschaltung: } R_{\mathrm{Ges}} = R_1 + R_2 \]

\[ \text{Parallelschaltung: } R_{\mathrm{Ges}} = \frac{R_3 \cdot R_4}{R_3 + R_4} \]

Wenn wir allgemeiner Widerstände und Reaktanzen betrachten, dann müssen wir diese ebenfalls addieren und multiplizieren. Gleiches gelten folgende Regeln:

Für Multiplikationen gelten keine speziellen Regeln, man kann Widerstände und Reaktanzen frei miteinander multiplizieren.

\[ \begin{gathered} R \cdot X_C \\[4pt] R \cdot X_L \\[4pt] X_L \cdot X_C \end{gathered} \]

Ein Widerstand wird mit einem anderen Widerstand „normal“ addiert.

\[ R_{\mathrm{Ges}} = R_1 + R_2 \]

Ein Widerstand wird mit einer Reaktanz (Spule oder Kondensator) quadratisch addiert.

Reihenschaltung von R und L sowie von R und C

\[ \begin{gathered} \text{Kondensator: } X_{\mathrm{Ges}} = \sqrt{R^2 + X_C^2} \\[6pt] \text{Spule: } X_{\mathrm{Ges}} = \sqrt{R^2 + X_L^2} \end{gathered} \]

Eine Reaktanz wird mit einer anderen Reaktanz „normal“ addiert. Die Reaktanz einer Spule wird positiv und die eines Kondensators negativ gewertet.

\[ X_{\mathrm{Ges}} = X_L - X_C \]

Reaktanzen beschreiben Speicher, die jeweils beim Integrieren oder Ableiten aus einem Sinus einen Cosinus machen und umgekehrt. Fließt durch zwei Reaktanzen ein Sinus-Strom, macht die Spule daraus eine „Plus-Cosinus“ Spannung und der Kondensator macht daraus eine „Minus Cosinus“ Spannung. Deshalb wird die Spulen-Reaktanz positiv und die Kondensator-Reaktanz negativ addiert.

Beispiele

Zunächst definieren wir ein paar Bauelemente, mit denen wir anschließend beispielhaft rechnen.

\[ \begin{gathered} \text{Widerstand } R = 1\,\Omega \\[4pt] \text{Spule: } L = 6{,}36\,\mathrm{mH} \\[4pt] \text{Kondensator: } C = 3{,}18\,\mathrm{mF} \\[4pt] f = 50\,\mathrm{Hz} \rightarrow \omega = 2\pi f = 314\,\frac{1}{\mathrm{s}} \\[6pt] X_L = \omega L = 314\,\frac{1}{\mathrm{s}} \cdot 6{,}36\,\mathrm{mH} = 2\,\Omega \\[6pt] X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{314\,\frac{1}{\mathrm{s}} \cdot 3{,}18\,\mathrm{mF}} = 1\,\Omega \end{gathered} \]

Spule L und Widerstand R

\[ \begin{gathered} \text{Reihenschaltung: } X_{\mathrm{Ges}} = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{(1\,\Omega)^2 + (2\,\Omega)^2} = 2{,}24\,\Omega \\[6pt] \text{Parallelschaltung: } X_{\mathrm{Ges}} = \frac{R \cdot X_L}{\sqrt{R^2 + X_L^2}} = \frac{1\,\Omega \cdot 2\,\Omega}{2{,}24\,\Omega} = 0{,}89\,\Omega \end{gathered} \]

Simulation

Kondensator C und Widerstand R

\[ \begin{gathered} \text{Reihenschaltung: } X_{\mathrm{Ges}} = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{(1\,\Omega)^2 + (1\,\Omega)^2} = 1{,}41\,\Omega \\[6pt] \text{Parallelschaltung: } X_{\mathrm{Ges}} = \frac{R \cdot X_C}{\sqrt{R^2 + X_C^2}} = \frac{1\,\Omega \cdot 1\,\Omega}{1{,}41\,\Omega} = 0{,}7\,\Omega \end{gathered} \]

Simulation

Spule L und Kondensator C

\[ \begin{gathered} \text{Reihenschaltung: } X_{\mathrm{Ges}} = X_L - X_C = 2\,\Omega - 1\,\Omega = 1\,\Omega \\[6pt] \text{Parallelschaltung: } X_{\mathrm{Ges}} = \frac{X_L \cdot X_C}{X_L - X_C} = \frac{2\,\Omega \cdot 1\,\Omega}{2\,\Omega - 1\,\Omega} = 2\,\Omega \end{gathered} \]

Simulation

Wir definieren die Reaktanz vor allem, damit wir mit Wechselstrom ähnlich einfach rechnen können wie mit Gleichstrom. Es handelt sich um eine mathematische Vereinfachung. Sie beschreibt aber auch das Verhalten der Bauelemente bei Wechselstrom. Eine Reaktanz ist ein Wechselstrom-Widerstand. Er gibt an, wie viel Widerstand ein Bauelement dem Wechselstrom entgegensetzt. Bei größerer Reaktanz fließt weniger Strom.