Elektrotechnik BMT & UFC › Schaltungstechnik 1

Reihenschaltung

Zwei Bauelemente sind in Reihe geschaltet, wenn zwischen Ihnen kein Knoten ist, an dem sich der Strom aufteilt. Sie können mit diesem Merkmal in einer Schaltung prüfen, ob eine Reihenschaltung vorliegt. Betrachten wir folgendes Beispiel:

Netzwerk mit R1 und R2 in Reihe sowie R3 und R4 parallel

In der Beispiel-Schaltung sind die Widerstände R₁ und R₂ in Reihe geschaltet. Da sich zwischen R₂ und R₃ ein Knoten befindet, sind keine weiteren Widerstände in Reihe geschaltet. Der einfachste Fall ist die Reihenschaltung zweier Widerstände:

Reihenschaltung von R1 und R2 an der Spannungsquelle U0

In einer Reihenschaltung fließt durch beide Bauelemente der gleiche Strom, denn es gibt für ihn keinen anderen Weg. Wenden wir darauf Knotenregel und Maschenregel an:

\[ \begin{gathered} I_0 = I_{R1} = I_{R2} \\[4pt] -U_0 + U_1 + U_2 = 0\,\mathrm{V} \\[4pt] U_0 = U_1 + U_2 \end{gathered} \]

Simulation

Die Spannung U₀ teilt sich bei einer Reihenschaltung nach der Maschenregel in die zwei Teilspannungen U₁ und U₂ auf. Es können i. A. mehr als zwei Bauelemente in Reihe geschaltet sein.

In komplexen Netzwerken sind an vielen Stellen Bauelemente in Reihe geschaltet. Die Berechnung der Verteilung von Spannung und Strom im Netzwerk ist einfacher, wenn alle in Reihe geschalteten Bauelemente zu einem einzigen Ersatzwiderstand R_Ges zusammengefasst werden. Dies reduziert den Rechenaufwand, wenn die Verteilung von Spannung und Strom in einer komplexen Schaltung ermittelt werden soll. Der Ersatzwiderstand wird dafür so dimensioniert, dass sich die Original-Schaltung und die Schaltung mit Ersatzwiderstand gleich verhalten.

Zusammenfassen der Reihenschaltung zu einem Gesamtwiderstand RGes

Das Verhalten der beiden Schaltungen links und rechts ist dann nach außen hin gleich, wenn am Ersatzwiderstand Spannung und Strom genauso sind wie an der Reihenschaltung von R₁ und R₂. Dann gilt:

\[ R_{\mathrm{Ges}} = \frac{U_{\mathrm{Ges}}}{I_0} = \frac{U_1 + U_2}{I_0} = \frac{U_1}{I_0} + \frac{U_2}{I_0} = R_1 + R_2 \]

Zahlenbeispiel: In einer Reihenschaltung aus zwei Widerständen gilt:

\[ \begin{gathered} \text{Linke Schaltung:} \\[2pt] R_1 = 8\,\Omega \text{ und } R_2 = 2\,\Omega \\ I_0 = 1\,\mathrm{A} \\ U_1 = R_1 \cdot I_1 = 8\,\Omega \cdot 1\,\mathrm{A} = 8\,\mathrm{V} \\ U_2 = R_2 \cdot I_2 = 2\,\Omega \cdot 1\,\mathrm{A} = 2\,\mathrm{V} \\ U_{\mathrm{Ges}} = U_1 + U_2 = 10\,\mathrm{V} \end{gathered} \]

\[ \begin{gathered} \text{Rechte Schaltung:} \\[2pt] R_{\mathrm{Ges}} = R_1 + R_2 = 8\,\Omega + 2\,\Omega = 10\,\Omega \\ U_{\mathrm{Ges}} = R_{\mathrm{Ges}} \cdot I_0 = 10\,\Omega \cdot 1\,\mathrm{A} = 10\,\mathrm{V} \end{gathered} \]

An beiden Schaltungen fällt beim gleichen Strom die gleiche Spannung ab. Die Schaltungen verhalten sich also gleich. Weitere Berechnungen in der Schaltung fällt mit einem Ersatzwiderstand deutlich leichter als das mit mehreren Widerständen. Sie fassen Widerstände nur zusammen, damit Sie leichter rechnen können. Sie brauchen das nicht zu tun, es hilft nur.

Im Wassermodell kann eine Reihenschaltung als Hintereinanderschaltung zweier Rohre verstanden werden. Nehmen wir zur Vereinfachung an, dass der Rohrdurchmesser und der Materialkoeffizient beider Rohre gleich groß sind.

Das erste Rohr, das R₁ = 8Ω darstellt, ist l₁ = 8m lang. Es weist eine Höhendifferenz von 4m über der Länge auf. Das zweite Rohr, das R₂ = 2Ω darstellt, ist l₂ = 2m lang. Es weist eine Höhendifferenz von 1m über der Länge auf. Zusammen weisen die Rohne die Länge l_Ges = 10m und eine Höhendifferenz von 5m auf. Offenbar weisen die beiden Rohre, wenn sie hintereinandergeschaltet werden, die gleichen Eigenschaften auf wie ein Rohr, das 10 Meter lang ist, sofern insgesamt die Höhendifferenz gleich groß ist. Durch beide Arten von Rohren (gleichen Widerstand) wird bei gleicher Höhendifferenz (Spannung) die gleiche Menge Wasser (Strom) fließen. Es ist einfacher, mit einem Rohr als mit zweien zu rechnen.

Zwei Wasserrohre in Reihe: l1 = 8 m, h1 = 4 m, l2 = 2 m, h2 = 1 m

Wozu ist das gut, wo liegt der Vorteil in der Praxis? Betrachten wir folgendes Beispiel-Netzwerk:

Vier parallele Zweige mit in Reihe geschalteten Widerständen R1 bis R10

Die Bestimmung aller Spannungen und Ströme im Netzwerk ist mathematisch eine Herausforderung. In Fällen, in denen nur interessiert, welcher Strom insgesamt in dieses Netzwerk hineinfließt und welche Spannung insgesamt am Netzwerk anliegt, hilft die Zusammenfassung aller Widerständen in Reihenschaltung. Zunächst wird geprüft, welche Widerstände in Reihe liegen. Da z. B. zwischen R₁ und R₂ kein Knoten liegt, sind diese Widerstände in Reihe geschaltet. Gleiches gilt für alle 4 Widerstände R₁ bis R₄.

Da durch alle Widerstände der gleiche Strom fließt, weil es zwischen ihnen keinen Knoten gibt, an dem Strom abfließen könnte, sind diese Widerstände in Reihe geschaltet. Das Zusammenfassen aller Widerstände, die jeweils in den 4 Strängen der Schaltung in Reihe geschaltet sind, führt zu folgendem vereinfachten Ersatznetzwerk:

Zusammengefasste Zweigwiderstände RG1 bis RG4

\[ \begin{gathered} R_{G1} = R_1 + R_2 + R_3 + R_4 \\[4pt] R_{G2} = R_5 + R_6 \\[4pt] R_{G3} = R_7 + R_8 + R_9 \\[4pt] R_{G4} = R_{10} \\[4pt] \text{Allgemein: } R_{\mathrm{Ges}} = \sum_i R_i \end{gathered} \]

Spannungen und Ströme in diesem Ersatznetzwerk sind einfacher zu berechnen, denn die Komplexität der Schaltung ist deutlich reduziert worden.

Aufgabe: Bestimmen Sie allgemein Strom- und Spannungsgleichung der folgenden Schaltung:

Reihenschaltung von R1 bis R4 an der Spannungsquelle U0

Lösung:

\[ \begin{gathered} U_0 = U_1 + U_2 + U_3 + U_4 \\[4pt] I_0 = I_{R1} = I_{R2} = I_{R3} = I_{R4} \end{gathered} \]