Rechnen mit Speichern
Betrachten wir folgendes Rechenbeispiel:
\[
\begin{gathered}
A = 0{,}1\,\mathrm{m}^2 \\[4pt]
\text{Befüllzeit 10 s: } t_{\mathrm{Start}} = 0\,\mathrm{s};\ t_{\mathrm{Ende}} = 10\,\mathrm{s} \\[4pt]
\dot{v} = 1{,}5\,\frac{\mathrm{l}}{\mathrm{s}} = 0{,}0015\,\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{s}}
\end{gathered}
\]
Der Eimer ist hmax = 30cm hoch. Der Füllstand ist also auf den Wertebereich zwischen hmin = 0cm und hmax = 30cm begrenzt, anschließend läuft er über. Der Eimer sei anfangs halb gefüllt mit h0 = 15cm = 0,15m. Der Füllstand nach 10 Sekunden beträgt dann
\[
\begin{gathered}
h(t_{\mathrm{Ende}}) = \frac{1}{A} \cdot \int_{t_{\mathrm{Start}}}^{t_{\mathrm{Ende}}} \dot{v}(t)\,dt + h_0(t_{\mathrm{Start}}) \\[6pt]
h(10\,\mathrm{s}) = \frac{1}{0{,}1\,\mathrm{m}^2} \cdot \int_{0\,\mathrm{s}}^{10\,\mathrm{s}} 0{,}0015\,\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{s}}\,dt + 0{,}15\,\mathrm{m}
\end{gathered}
\]
Da der Zulauf zeitlich konstant ist, nutzen wir die Stammfunktion einer Konstante.
\[
\begin{gathered}
\text{Allgemein: } y = \int_{x_1}^{x_2} k\,dx = k \cdot x\Big|_{x_1}^{x_2} = k(x_2 - x_1) \\[6pt]
\text{Bei } \dot{v}(t) = \text{konstant über } t \text{ zwischen } t_{\mathrm{Start}} \text{ und } t_{\mathrm{Ende}}\text{:} \\[6pt]
\int_{t_{\mathrm{Start}}}^{t_{\mathrm{Ende}}} \dot{v}(t) \cdot dt = \dot{v} \cdot (t_{\mathrm{Ende}} - t_{\mathrm{Start}}) = 0{,}0015\,\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{s}} (10\,\mathrm{s} - 0\,\mathrm{s}) = 0{,}015\,\mathrm{m}^3 \\[6pt]
h(10\,\mathrm{s}) = \frac{1}{0{,}1\,\mathrm{m}^2} \cdot 0{,}015\,\mathrm{m}^3 + 15\,\mathrm{cm} = 0{,}15\,\mathrm{m} + 15\,\mathrm{cm} = 30\,\mathrm{cm}
\end{gathered}
\]
Der Füllstand beträgt also am Ende des Füllvorgangs 30 cm.
Nach 10 Sekunden ist der Füllstand des Eimers um 15cm auf 30cm gestiegen.