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Vereinfachung von Schaltungen

Eine reale Schaltung besteht i. A. aus Reihen- und Parallelschaltung vieler Bauelemente. Diese können nach den gerade erarbeiteten Regeln schrittweise immer weiter zusammengefasst werden. Die Zusammenfassung aller Bauelemente einer Schaltung wird z. B. genutzt, um die Belastung einer Spannungsquelle mit Strom zu ermitteln.

Belastung einer Quelle

Wenn Sie eine Batterie für die Versorgung einer Schaltung auswählen, dann gibt der Hersteller im Datenblatt einen maximalen Strom an, der aus der Batterie entnommen werden kann. Augenscheinlich kann eine Autobatterie mit einem Volumen von mehreren Litern mehr Strom abgeben als eine kleine Knopfzelle in einer Armbanduhr. Die Stromaufnahme der Schaltung – also der Strom, der aus der Batterie in die Schaltung hineinfließt – muss also zur Batterie passen.

Es ist mathematisch nicht einfach, die Stromaufnahme einer komplexen Schaltung zu ermitteln. Wird die Schaltung auf im besten Fall einen einzigen Ersatzwiderstand reduziert, fällt die Berechnung leicht.

Dies wird am Beispiel der folgenden Schaltung gezeigt, mit der mehrere Verbraucher betrieben werden sollen, die alle als Ohm´sche Widerstände modelliert sind. Es gilt

Beispielschaltung mit R1 bis R5 an einem LiPo-Akku

\[ \begin{gathered} R_1 = 4{,}4\,\Omega,\ R_2 = 6\,\Omega,\ R_3 = R_4 = R_5 = 4\,\Omega \\[4pt] \text{Am LiPo-Akku gilt: } U_0 = 3{,}7\,\mathrm{V} \end{gathered} \]

Um die Belastung der Spannungsquelle mit dem Strom I₀ zu berechnen, wird die Schaltung schrittweise vereinfacht, ohne dass sich dadurch Spannung und Strom an der Quelle ändern.

Im ersten Schritt werden R₄ und R₅, die parallelgeschaltet sind, zu einem Widerstand zusammengefasst. Es ergibt sich folgende vereinfachte Schaltung:

\[ R_{45} = R_4 \,||\, R_5 = \frac{4\,\Omega \cdot 4\,\Omega}{4\,\Omega + 4\,\Omega} = 2\,\Omega \]

Im zweiten Schritt wird die Reihenschaltung aus R₃ und R₄₅ zusammengefasst:

\[ R_{345} = R_3 + R_{45} = 4\,\Omega + 2\,\Omega = 6\,\Omega \]

Jetzt liegen R₂ und R₃₄₅ parallel. Es gilt in einer weiteren Stufe der Vereinfachung:

\[ R_{2345} = R_2 \,||\, R_{345} = \frac{6\,\Omega \cdot 6\,\Omega}{6\,\Omega + 6\,\Omega} = 3\,\Omega \]

Am Ende wird die Reihenschaltung aus R₁ und R₂₃₄₅ zu einem Gesamtwiderstand zusammengefasst.

\[ R_{\mathrm{Ges}} = R_1 + R_{2345} = 4{,}4\,\Omega + 3\,\Omega = 7{,}4\,\Omega \]

Der Strom, der die Quelle belastet, kann jetzt einfach berechnet werden zu

\[ I_0 = \frac{U_0}{R_{\mathrm{Ges}}} = \frac{3{,}7\,\mathrm{V}}{7{,}4\,\Omega} = 0{,}5\,\mathrm{A} \]

Dieser Strom fließt aus der Batterie in die Schaltung hinein. Mit diesem Wert kann jetzt die Batterie ausgewählt werden.

Berechnung von Teilspannungen und Teilströmen

Die unterschiedlichen Vereinfachungsstufen können rückwärts dafür genutzt werden, um Teilströme und Teilspannungen in einem Netzwerk einfacher auszurechnen. Dafür werden in dem oberen Beispiel die Teilspannung U₂ an R₂ sowie der Teilstrom I₃, der durch R₃ fließt, berechnet.

Beispielschaltung mit den gesuchten Größen U2 und I3

Die Spannung U₂ entspricht der Potentialdifferenz zwischen den Knoten oberhalb und unterhalb des Widerstands R₂. Damit liegt U₂ am Ersatzwiderstand R₂₃₄₅ in der vorletzten Vereinfachungsstufe der Schaltung an.

Durch R₂₃₄₅ fließt der Strom I₀ = 0,5A. Nach dem Ohm´schen Gesetz fällt an diesem Widerstand die folgende Spannung ab:

\[ U_2 = R_{2345} \cdot I_0 = 3\,\Omega \cdot 0{,}5\,\mathrm{A} = 1{,}5\,\mathrm{V} \]

Den Strom I₃ kann man relativ einfach über einen Stromteiler in der dritten Vereinfachungsstufe berechnen, denn dieser Strom fließt durch den Ersatzwiderstand R₃₄₅:

\[ \text{Stromteiler: } I_3 = I_0 \cdot \frac{R_2}{R_2 + R_{345}} = 0{,}5\,\mathrm{A} \cdot \frac{6\,\Omega}{6\,\Omega + 6\,\Omega} = 0{,}5\,\mathrm{A} \cdot \frac{1}{2} = 0{,}25\,\mathrm{A} \]

Simulation