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Übergangsverhalten

Am Ende des letzten Kapitels haben wir bereits das Übergangsverhalten von PT-1-Verhalten mit einem Regelparameter verändert. Das Übergangsverhalten von PT-1-Verhalten wird durch den Parameter τ beschrieben. τ_Fü hängt von k_IR ab, wenn wir ein P-System mit einem I-Regler regeln.

Betrachten wir jetzt ein System zweiter Ordnung in einem Beispiel. Das System besteht aus I-Verhalten und PT-1-Verhalten. Das geregelte System weist aufgrund des I-Verhaltens im System keine bleibende Regelabweichung auf. Wir können das Übergangsverhalten mit einem P-Regler optimieren. Der Regelkreis sieht folgendermaßen aus:

Regelkreis mit P-Regler k_PR, I-Glied (k_IS und 1/s) und PT1-Strecke k_PS/(1 + τ_S · s)

Zunächst vereinfachen wir den Kreis für die Berechnung. Es sind drei Terme enthalten, die die Verstärkung beschreiben. Diese können wir zu einem Term zusammenfassen.

\[ \text{Zusammenfassen: } k = k_{PR} \cdot k_{IS} \cdot k_{PS} \]

Vereinfachter Regelkreis mit k, Integrator 1/s und PT1-Glied 1/(1 + τ_S · s)

Parameter k ist keine offizielle Bezeichnung, sondern nur ein Hilfsparameter, mit dem ich das System vereinfache. Es gilt:

\[ \begin{gathered} A = k \cdot \frac{1}{s} \cdot \frac{1}{1 + \tau_S \cdot s} = \frac{k}{s + \tau_S \cdot s^2} \\[8pt] H_{\mathrm{FÜ}} = \frac{A}{1 + A} = \frac{\frac{k}{s + \tau_S \cdot s^2}}{1 + \frac{k}{s + \tau_S \cdot s^2}} = \frac{k}{s + \tau_S \cdot s^2 + k} = \frac{1}{\frac{\tau_S}{k} \cdot s^2 + \frac{1}{k} \cdot s + 1} \\[8pt] H_{\mathrm{PT2}} = \frac{k_{P,\mathrm{PT2}}}{\frac{1}{\omega_0^2} s^2 + \frac{2D}{\omega_0} s + 1} \end{gathered} \]

Nach dieser Umformung ist das Ergebnis der Standardform des schwingfähigen PT-2-Verhaltens ähnlich. Jetzt können wir über den Koeffizientenvergleich die charakteristischen Parameter bestimmen:

\[ \begin{gathered} H_{\mathrm{FÜ}} = H_{\mathrm{PT2}} = \frac{1}{\frac{\tau_S}{k} \cdot s^2 + \frac{1}{k} \cdot s + 1} = \frac{k_{P,\mathrm{PT2}}}{\frac{1}{\omega_0^2} s^2 + \frac{2D}{\omega_0} s + 1} \\[8pt] \text{Zähler: } k_{P,\mathrm{PT2}} = 1 \\[8pt] \text{Nenner Vorfaktor zu } s^2\text{: } \frac{1}{\omega_0^2} = \frac{\tau_S}{k} \rightarrow \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{\tau_S}} \\[8pt] \text{Wirkung von } k_{PR} \text{ auf die Schwingfrequenz: } \omega_0 \sim \sqrt{k_{PR}} \\[8pt] \text{Nenner Vorfaktor zu } s\text{: } \frac{2D}{\omega_0} = \frac{1}{k} \rightarrow D = \frac{\omega_0}{2k} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{k \cdot \tau_S}} \\[8pt] \text{Wirkung von } k_{PR} \text{ auf die Dämpfung: } D \sim \sqrt{\frac{1}{k_{PR}}} \end{gathered} \]

Parameter k können wir direkt über den Regler k_PR beeinflussen. Parameter k wirkt auf die Schwingfrequenz und die Dämpfung des geregelten Systems. Die Parametrierung des Reglers beeinflusst also das Übergangsverhalten des geregelten Systems.