Analogie avec le modèle hydraulique

Pour expliquer la relation entre tension et courant d’un condensateur en courant alternatif, nous reprenons l’analogie du seau avec arrivée et écoulement du chapitre Accumulateurs d’énergie. Voici à nouveau le graphique :

Seau avec arrivée et écoulement par robinets : surface de base A, hauteur h, hauteur maximale h_max — Grundfläche = surface de base · Zulauf = arrivée · Füllhöhe = hauteur de remplissage · Ablauf = écoulement

Pour expliquer la tension et le courant alternatifs, l’eau arrive et s’écoule par les robinets de manière sinusoïdale. Le niveau du seau varie donc de manière sinusoïdale.

Arrivée et écoulement sinusoïdaux v̇(t) en fonction du temps — Zulauf = arrivée · Ablauf = écoulement

Dans l’analogie, le condensateur correspond au seau. On a :

\[ \begin{gathered} \text{Le niveau } h \text{ correspond à la tension } u_C \\[4pt] \text{Le débit d’arrivée } \dot{v} \text{ correspond au courant } i_C \\[4pt] \text{La surface de base } A \text{ correspond à la capacité } C \end{gathered} \]

Comme grandeur d’entrée, nous imposons une arrivée sinusoïdale. Comme grandeur de sortie, nous observons le niveau qui en résulte. Pour le condensateur, cela signifie : nous imposons le courant et observons la tension comme résultat ou sortie.

Déphasage

Nous avons déjà constaté que le niveau est toujours maximal lorsque l’arrivée, jusque-là positive, passe par zéro, c’est-à-dire lorsque le remplissage est terminé et que le vidage commence. Tant que l’arrivée est positive, le niveau monte. Tant qu’elle est négative (de l’eau s’écoule), le niveau baisse.

Niveau h(t) et débit v̇(t) sur une période : le niveau est maximal au passage par zéro du débit — Halb = à moitié · Leer = vide

Si l’arrivée est sinusoïdale, il y a entre l’arrivée et le niveau un déphasage d’un quart de période. L’arrivée est en avance sur le niveau.

Arrivée et niveau avec déphasage φ = φh − φv̇ = −π/2, dans le cercle et en fonction du temps — Zulauf = arrivée · Ablauf = écoulement · Halb = à moitié · Leer = vide

Le niveau est en retard sur l’arrivée. Si l’arrivée n’a pas de déphasage, le niveau est déphasé de φ_h = −π/2.

Tout accumulateur présente un déphasage de ±π/2 entre arrivée et niveau lorsque son arrivée varie de manière sinusoïdale. Cela vaut aussi pour la tension et le courant des composants bobine et condensateur. Vous verrez plus tard que le décalage vaut +π/2 dans un cas et −π/2 dans l’autre.

La tension du condensateur se calcule par l’intégrale du courant dans le temps. L’intégrale dans le temps représente la somme du courant dans le passé. L’intégration permet donc aussi de comprendre qu’un courant positif n’entraîne une tension positive qu’avec un certain retard.

Un composant présentant un déphasage de ±π/2 est une chance bienvenue. Ce déphasage s’exprime par une multiplication par j :

\[ \begin{gathered} \text{Déphasage de } \frac{\pi}{2}\text{ : multiplication par } \cdot e^{j\frac{\pi}{2}} \text{ ou } \cdot j \\[6pt] \text{Déphasage de } -\frac{\pi}{2}\text{ : multiplication par } \cdot e^{-j\frac{\pi}{2}} \text{ ou } \cdot (-j) \end{gathered} \]

Pour le niveau et l’arrivée du seau et pour le condensateur, on a :

\[ \begin{gathered} \text{Seau : } h \sim \dot{v} \cdot e^{-j\frac{\pi}{2}} \\[4pt] h \sim \frac{1}{j} \cdot \dot{v} = (-j) \cdot \dot{v} \\[4pt] \dot{v} \sim j \cdot h \\[8pt] \text{Condensateur : } u_C \sim i_C \cdot e^{-j\frac{\pi}{2}} \\[4pt] u_C \sim \frac{1}{j} \cdot i_C = (-j) \cdot i_C \\[4pt] i_C \sim j \cdot u_C \end{gathered} \]

Dépendance à la fréquence

Voyons ensuite comment l’arrivée et le niveau dépendent de la fréquence de remplissage et de vidage. Si le seau est rempli et vidé à f = 1 Hz, il est entièrement rempli puis entièrement vidé une fois par seconde.

Supposons maintenant que les robinets sont ouverts suffisamment pour que le niveau du seau varie entre complètement vide et complètement plein. Doublons alors la fréquence de remplissage. Nous ouvrons et fermons les robinets plus vite, mais toujours aussi grand qu’avant.

Arrivée et niveau à f = 1 Hz (à gauche) et à f = 2 Hz (à droite) : à fréquence double, le niveau ne monte qu’à moitié — Halb = à moitié · Leer = vide

En haut à gauche de l’image, vous voyez le remplissage et le vidage à f = 1 Hz, que vous connaissez déjà. En haut à droite, le même seau est rempli et vidé avec la même valeur de crête et une fréquence double. Une période dure maintenant T = 0,5 s. Le remplissage et le vidage sont donc terminés deux fois plus vite.

À f = 2 Hz, il n’est entré que deux fois moins d’eau dans le seau. C’est pourquoi le niveau ne monte plus qu’à moitié. Manifestement, le niveau dépend de la fréquence si l’on ne modifie pas la valeur de crête de l’arrivée. Le niveau est divisé par deux quand la fréquence double. Bien sûr, le niveau dépend toujours aussi de la valeur de crête de l’arrivée.

Passons du modèle hydraulique à l’électrotechnique. Le condensateur est le seau. Son niveau est la tension et le débit d’arrivée est le courant. Dans le condensateur (seau), la tension (hauteur d’eau) dépend de la rapidité avec laquelle le courant (débit) varie. La tension du condensateur u_C est donc inversement proportionnelle à la fréquence f à laquelle varie le courant i_C. La tension et le courant sont ici tous deux sinusoïdaux ; sinon, cela devient plus compliqué. On a :

\[ \begin{gathered} \text{Niveau du seau } h \sim \frac{1}{f} \cdot \dot{v} \\[6pt] \text{Tension du condensateur : } u_C \sim \frac{1}{f} \cdot i_C \end{gathered} \]

Pour des évolutions sinusoïdales, nous utilisons la pulsation ω au lieu de la fréquence f. Avec ω = 2πf, on peut aussi écrire :

\[ u_C(\omega) \sim \frac{1}{\omega} \cdot i_C \]

Dépendance à la surface

Comparons maintenant deux seaux. Ils sont identiques, sauf leur surface de base. On a :

\[ \begin{gathered} \text{Seau 1 : } A_1 = 100\,\mathrm{cm}^2 \\[4pt] \text{Seau 2 : } A_2 = 200\,\mathrm{cm}^2 \end{gathered} \]

La même quantité d’eau donne dans le seau 1 un niveau deux fois plus élevé que dans le seau 2. Supposons que les robinets soient ouverts de sorte que le seau 1 soit entièrement rempli et vidé. Le remplissage se présente alors ainsi :

Même arrivée dans le seau 1 de A1 = 100 cm² (se remplit) et le seau 2 de A2 = 200 cm² (à moitié plein) — Eimer = seau

Le niveau dépend donc de la surface de base du seau. Dans l’analogie électrotechnique, la tension du condensateur dépend donc de sa capacité C. On a

\[ \begin{gathered} \text{Niveau du seau : } h \sim \frac{1}{A} \cdot \dot{v} \\[6pt] \text{Tension du condensateur : } u_C \sim \frac{1}{C} \cdot i_C \end{gathered} \]

Nous avons ainsi discuté de manière intuitive tous les paramètres qui déterminent l’impédance complexe d’un condensateur. Au total, on a :

\[ \begin{gathered} \text{Seau :} \\[2pt] \text{Phase : } h \sim \frac{1}{j} \cdot \dot{v} \\[6pt] \text{Fréquence : } h \sim \frac{1}{\omega} \cdot \dot{v} \\[6pt] \text{Surface : } h \sim \frac{1}{A} \cdot \dot{v} \\[6pt] \text{Au total : } h = \frac{1}{j\omega A} \cdot \dot{v} \\[8pt] \text{Condensateur : } u_C = \frac{1}{j\omega C} \cdot i_C \end{gathered} \]