Calculer avec des éléments de stockage
Prenons l’exemple numérique suivant :
\[
\begin{gathered}
A = 0{,}1\,\mathrm{m}^2 \\[4pt]
\text{Durée de remplissage 10 s : } t_{\mathrm{Start}} = 0\,\mathrm{s} ;\ t_{\mathrm{Ende}} = 10\,\mathrm{s} \\[4pt]
\dot{v} = 1{,}5\,\frac{\mathrm{l}}{\mathrm{s}} = 0{,}0015\,\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{s}}
\end{gathered}
\]
Le seau mesure hmax = 30 cm de haut. Le niveau est donc limité à la plage comprise entre hmin = 0 cm et hmax = 30 cm ; au-delà, il déborde. Supposons que le seau soit au départ à moitié plein avec h0 = 15 cm = 0,15 m. Le niveau après 10 secondes vaut alors
\[
\begin{gathered}
h(t_{\mathrm{Ende}}) = \frac{1}{A} \cdot \int_{t_{\mathrm{Start}}}^{t_{\mathrm{Ende}}} \dot{v}(t)\,dt + h_0(t_{\mathrm{Start}}) \\[6pt]
h(10\,\mathrm{s}) = \frac{1}{0{,}1\,\mathrm{m}^2} \cdot \int_{0\,\mathrm{s}}^{10\,\mathrm{s}} 0{,}0015\,\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{s}}\,dt + 0{,}15\,\mathrm{m}
\end{gathered}
\]
Comme l’arrivée d’eau est constante dans le temps, nous utilisons la primitive d’une constante.
\[
\begin{gathered}
\text{En général : } y = \int_{x_1}^{x_2} k\,dx = k \cdot x\Big|_{x_1}^{x_2} = k(x_2 - x_1) \\[6pt]
\text{Pour } \dot{v}(t) = \text{constante en } t \text{ entre } t_{\mathrm{Start}} \text{ et } t_{\mathrm{Ende}}\text{ :} \\[6pt]
\int_{t_{\mathrm{Start}}}^{t_{\mathrm{Ende}}} \dot{v}(t) \cdot dt = \dot{v} \cdot (t_{\mathrm{Ende}} - t_{\mathrm{Start}}) = 0{,}0015\,\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{s}} (10\,\mathrm{s} - 0\,\mathrm{s}) = 0{,}015\,\mathrm{m}^3 \\[6pt]
h(10\,\mathrm{s}) = \frac{1}{0{,}1\,\mathrm{m}^2} \cdot 0{,}015\,\mathrm{m}^3 + 15\,\mathrm{cm} = 0{,}15\,\mathrm{m} + 15\,\mathrm{cm} = 30\,\mathrm{cm}
\end{gathered}
\]
À la fin du remplissage, le niveau est donc de 30 cm.
Après 10 secondes, le niveau du seau a augmenté de 15 cm pour atteindre 30 cm.