Dépendance en fréquence

L’impédance des accumulateurs d’énergie dépend de la pulsation ω. Qu’est-ce que cela signifie pour la tension et le courant dans les réseaux contenant des accumulateurs ?

Bobine

Pour la bobine, l’impédance augmente avec la fréquence. Le courant d’une bobine branchée sur une source de tension alternative diminue donc quand la fréquence de la tension augmente. Aux très hautes fréquences, on a pour l’impédance d’une bobine :

\[ \begin{gathered} \text{À toute fréquence : } Z_L = j\omega L \\[4pt] \text{Pour } f \rightarrow \infty\text{ : } Z_L \rightarrow \infty \text{ et } i_L = 0\,\mathrm{A} \end{gathered} \]

Aux très hautes fréquences, une bobine est modélisée par un interrupteur ouvert. Un composant d’impédance infinie s’oppose à toute circulation de courant. Aucun courant ne circule dans la branche contenant la bobine. Tous les composants en série avec la bobine n’ont aucun effet dans le circuit. On peut aussi les omettre pour calculer la tension et le courant sans fausser les résultats.

À très basse fréquence – par exemple en courant continu avec f = 0 Hz –, on a pour la bobine :

\[ \begin{gathered} \text{À toute fréquence : } Z_L = j\omega L \\[4pt] \text{Pour } f = 0\,\mathrm{Hz}\text{ : } Z_L = 0\,\Omega \end{gathered} \]

En courant continu, une bobine n’a pas de résistance. Elle est modélisée par un conducteur idéal. Elle ne se compose d’ailleurs que d’un fil enroulé autour d’un noyau magnétique. En courant continu, il ne reste que la résistance du fil, que nous prenons en première approximation égale à R = 0 Ω.

En courant continu, le courant de la bobine est généralement déterminé par les autres composants du réseau. Si une bobine seule est branchée sur une source de tension continue idéale, le courant dans la bobine est infini. C’est bien sûr impossible en pratique ; ce n’est qu’une expérience de pensée.

Condensateur

Le condensateur se comporte toujours de façon réciproque à la bobine. Son impédance est proportionnelle à 1/ω. Aux très hautes fréquences, on a

\[ \begin{gathered} \text{À toute fréquence : } Z_C = \frac{1}{j\omega C} \\[6pt] \text{Pour } f \rightarrow \infty\text{ : } Z_C \rightarrow 0\,\Omega \\[4pt] \text{Pour } f = 0\,\mathrm{Hz}\text{ : } Z_C \rightarrow \infty \end{gathered} \]

Aux hautes fréquences, le condensateur est modélisé par un conducteur idéal. En courant continu, avec f = 0 Hz, il est modélisé par un interrupteur ouvert. Les conséquences dans le circuit sont les mêmes que celles décrites pour la bobine dans ces cas.

Pour les cas f → ∞ et f = 0 Hz, nous pouvons simplifier les circuits en modélisant les accumulateurs soit par des conducteurs idéaux, soit par des interrupteurs ouverts. Simplifions le circuit suivant à titre d’exemple :

Circuit : source U0 avec deux branches parallèles, R1 en série avec C et L en série avec R2

Pour f → ∞, le condensateur est un conducteur idéal et la bobine un interrupteur ouvert. Aucun courant ne traverse donc L et R₂. Aux très hautes fréquences, seule R₁ agit dans le circuit. Pour calculer les tensions et les courants, nous pouvons simplifier le circuit ainsi :

Circuit simplifié pour f tendant vers l’infini : seule R1 sur la source U0

Les autres composants n’ont pas disparu pour f → ∞. Ils n’agissent simplement pas. Nous utilisons le schéma équivalent simplifié ci-dessus uniquement pour calculer plus facilement les tensions et les courants. Aucun courant ne traverse la bobine et R₂. Il n’y a pas non plus de tension à leurs bornes, car la bobine, en tant qu’interrupteur ouvert, les sépare de la source. Le même courant traverse le condensateur et R₁. Aucune tension n’apparaît aux bornes du condensateur, car son impédance vaut 0 Ω.

Pour f = 0 Hz (tension continue), le condensateur est un interrupteur ouvert et la bobine un conducteur idéal. Aucun courant ne traverse donc C et R₁. À f = 0 Hz, seule R₂ agit dans le circuit.

Circuit simplifié pour f = 0 Hz : seule R2 sur la source U0

Le courant de la bobine est égal au courant dans R₂. Le condensateur se sépare lui-même, ainsi que R₁, de la source, de sorte qu’aucun courant ne traverse ces composants et qu’aucune tension n’apparaît à leurs bornes.

Même si la fréquence ne prend pas les valeurs extrêmes 0 et l’infini, cette étude est utile. Elle montre que les accumulateurs n’agissent dans les circuits que dans une certaine plage de fréquences. En dehors de cette plage, leur résistance en courant alternatif (impédance) est bien plus faible ou bien plus grande que celle de tous les autres composants du circuit.

On peut comparer cela à un montage en série d’une résistance extrêmement grande et d’une résistance extrêmement petite. La petite résistance n’a pratiquement aucune influence sur la tension et le courant du circuit. Exemple :

\[ \begin{gathered} R_1 = 1\,\mathrm{M\Omega} \\[4pt] R_2 = 1\,\text{µ}\Omega \\[4pt] R_1 + R_2 = 1000000{,}000001\,\Omega \end{gathered} \]

Pour calculer la tension et le courant, vous pouvez tout simplement ignorer R₂. En pratique, cela n’entraîne aucune erreur dans le calcul et le dimensionnement d’un circuit.