Électrotechnique ETR › Puissance alternative

Puissance complexe

Les circuits comportant des récepteurs ohmiques et des accumulateurs nécessitent en général de la puissance active et de la puissance réactive. La puissance active convertit l’énergie électrique dans les récepteurs ohmiques en d’autres formes d’énergie. La puissance réactive fait aller et venir l’énergie électrique entre des accumulateurs comme les bobines et les condensateurs. La puissance apparente est la somme complexe des deux.

Les évolutions temporelles du chapitre précédent aident à comprendre ces deux sortes de puissance. Pour le calcul, nous revenons aux nombres complexes. La puissance active est purement réelle. La puissance réactive est purement imaginaire. C’est pourquoi la puissance apparente complexe est définie ainsi :

\[ \begin{gathered} \text{Puissance apparente } s ;\; \text{puissance réactive } q ;\; \text{puissance active } p \\[4pt] s(\omega) = u(\omega) \cdot i(\omega)^* \\[4pt] s = p + jq \\[4pt] |s| = \sqrt{p^2 + q^2} \\[4pt] p = |s| \cdot \cos(\varphi) \\[4pt] q = |s| \cdot \sin(\varphi) \\[4pt] \varphi = \arctan\left(\frac{q}{p}\right) \\[4pt] \varphi = \varphi_u - \varphi_i \end{gathered} \]

Les puissances active et réactive se calculent à partir de la puissance apparente au moyen de l’angle de phase φ. Celui-ci est la différence entre la phase de la tension et celle du courant.

En calcul complexe, la puissance apparente s se calcule par s(ω) = u(ω) ∙ i(ω)^*. L’astérisque désigne l’opérateur mathématique « conjugué ». Pour le conjugué d’un nombre complexe, on change le signe de la partie imaginaire. Par exemple, (1+j)^* = 1−j. La puissance active p(ω) est alors définie comme la partie réelle de la puissance apparente, et la puissance réactive q(ω) comme sa partie imaginaire. On a donc s = p + jq.

Malheureusement, des unités différentes sont définies pour les trois types de puissance. La puissance apparente s s’exprime en [s] = V ∙ A. La puissance réactive q a pour unité [q] = var et la puissance active l’unité bien connue [p] = W.

Grandeur physique	Symbole	Nom de l’unité	Symbole de l’unité
Puissance apparente	\(s\)	Voltampère	\(\mathrm{VA}\)
Puissance active	\(p\)	Watt	\(\mathrm{W}\)
Puissance réactive	\(q\)	Voltampère réactif	\(\mathrm{var}\)

Prenons comme exemple une tension u(ω) = j3 V et un courant i(ω) = 2 A – j2 A.

\[ \begin{gathered} \text{Données : } u(\omega) = j3\,\mathrm{V} ;\; i(\omega) = 2\,\mathrm{A} - j2\,\mathrm{A} \\[4pt] s(\omega) = u(\omega) \cdot i(\omega)^* = j3\,\mathrm{V} \cdot (2\,\mathrm{A} \textcolor{#c00000}{+} j2\,\mathrm{A}) = j6\,\mathrm{VA} - 6\,\mathrm{VA} \\[4pt] p(\omega) = -6\,\mathrm{W} \\[4pt] q(\omega) = 6\,\mathrm{var} \end{gathered} \]

La puissance réactive q est toujours indiquée sans le j. Le j figure dans l’équation s = p + jq. C’est pourquoi p et q sont réels. Les différentes unités servent à indiquer immédiatement de quel type de puissance il s’agit. Tant que nous indiquons une puissance apparente s, l’unité est toujours le VA. Ce n’est qu’en indiquant p ou q que nous pouvons utiliser les unités W ou var.

Une résistance ohmique ne peut avoir que de la puissance active, un accumulateur que de la puissance réactive. La puissance réactive d’une bobine est toujours positive, celle d’un condensateur toujours négative. Vous le constaterez vous-même en faisant des exercices. Il est utile de le savoir pour contrôler les résultats.

Facteur de puissance

Lorsque vous exploitez par exemple des installations électriques, vous voulez en général obtenir le plus de puissance active possible. La puissance réactive est généralement indésirable, car elle ne produit rien dans l’installation ; elle ne fait que recharger des accumulateurs. Comment déterminer simplement en pratique la part de puissance active dans la puissance apparente, pour vérifier si votre installation est « bonne » ? On utilise pour cela le facteur de puissance.

Vecteur de la puissance apparente s dans le plan complexe avec puissance active p, puissance réactive q et angle φ

\[ \begin{gathered} \text{Puissance active : } p = |s| \cdot \cos(\varphi) \\[4pt] \text{100 \% de puissance active : } s = p ;\; q = 0 ;\; \varphi = 0 ;\; \cos(\varphi) = 1 \\[4pt] \text{Puissance réactive : } q = |s| \cdot \sin(\varphi) \\[4pt] \text{100 \% de puissance réactive : } s = q ;\; p = 0 ;\; \varphi = \pm\frac{\pi}{2} ;\; \cos(\varphi) = 0 \end{gathered} \]

Sur la figure ci-dessus, l’angle φ est tracé entre l’axe réel (axe x) et le vecteur de la puissance apparente. Il décrit, dans le triangle, comment la puissance apparente se répartit en puissance active et réactive. La part de puissance active p dans la puissance apparente s est exprimée par le facteur de puissance cos(φ). Une « bonne » installation, avec peu de puissance réactive, a un facteur de puissance cos(φ) = 1.

L’angle φ de la puissance est égal au déphasage φ entre tension et courant. Je vous le montre sur l’exemple suivant :

\[ \begin{gathered} u(\omega) = 1\,\mathrm{V} \cdot e^{j\frac{\pi}{4}} \text{ avec } \varphi_u = \frac{\pi}{4} \\[4pt] i(\omega) = 1\,\mathrm{A} \cdot e^{j\frac{\pi}{2}} \text{ avec } \varphi_i = \frac{\pi}{2} \\[4pt] s(\omega) = u(\omega) \cdot i(\omega)^* = 1\,\mathrm{V} \cdot e^{j\frac{\pi}{4}} \cdot 1\,\mathrm{A} \cdot e^{-j\frac{\pi}{2}} = 1\,\mathrm{VA} \cdot e^{\left(j\frac{\pi}{4} - j\frac{\pi}{2}\right)} = 1\,\mathrm{VA} \cdot e^{-j\frac{\pi}{4}} \\[4pt] \varphi = \varphi_u - \varphi_i = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4} \end{gathered} \]

Vous pouvez donc déduire la puissance active en analysant les évolutions temporelles de la tension et du courant. Le déphasage entre tension et courant se détermine à partir de l’écart de temps entre les passages par zéro positifs des courbes, rapporté à la période. La méthode de détermination de l’angle de phase est expliquée dans ce chapitre.

Vous déterminez ensuite les valeurs de crête de la tension et du courant et les multipliez pour obtenir la valeur de crête de la puissance apparente. Multipliée par cos(φ), elle donne la valeur de crête de la puissance active.

Voici deux figures d’évolutions de tension et de courant. Les valeurs de crête de la tension et du courant sont les mêmes dans les deux cas. Le module de la puissance apparente est donc aussi le même. L’écart de temps entre tension et courant est proportionnel à leur déphasage. L’angle de phase des courbes du haut est plus grand que celui des courbes du bas. La part de puissance active dans la puissance apparente est donc plus grande en bas qu’en haut.

\[ |s_1| = |s_2| = |s| \]

Tension u1(t) et courant i1(t) avec un déphasage plus grand

\[ \begin{gathered} \varphi_1 = -\frac{\pi}{4} \\[4pt] \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 0{,}71 \\[4pt] p_1 = |s| \cdot 0{,}71 \end{gathered} \]

Tension u2(t) et courant i2(t) avec un petit déphasage

\[ \begin{gathered} \varphi_2 = -\frac{\pi}{8} \\[4pt] \cos\left(-\frac{\pi}{8}\right) = 0{,}92 \\[4pt] p_2 = |s| \cdot 0{,}92 \\[4pt] p_2 > p_1 \text{ pour } |s_1| = |s_2| \end{gathered} \]

Exemple de circuit

Examinons la puissance fournie par la source de tension de la figure ci-dessous.

Circuit : source u0 de courant i0, résistance R en série avec le montage en parallèle de C et L

\[ \begin{gathered} R = 10\,\Omega \\[4pt] L = 9\,\mathrm{mH} \\[4pt] C = 11\,\mathrm{\mu F} \\[4pt] u_0(\omega) = 10\,\mathrm{V} \\[4pt] \omega = 1\,\mathrm{k}\frac{1}{\mathrm{s}} \end{gathered} \]

Calculons d’abord le courant qui sort de la source. On forme pour cela l’impédance totale de la charge Z_Ges :

\[ \begin{gathered} Z_{\mathrm{Ges}} = Z_R + (Z_L || Z_C) \\[6pt] (Z_L || Z_C) = \left(\frac{j\omega L \cdot \frac{1}{j\omega C}}{j\omega L + \frac{1}{j\omega C}}\right) = \left(\frac{j\omega L}{j\omega L \cdot j\omega C + 1}\right) = j\left(\frac{\omega L}{1 - \omega^2 LC}\right) \\[6pt] = j\left(\frac{1\,\mathrm{k}\frac{1}{\mathrm{s}} \cdot 9\,\mathrm{mH}}{1 - \left(1\,\mathrm{k}\frac{1}{\mathrm{s}}\right)^2 \cdot 9\,\mathrm{mH} \cdot 11\,\mathrm{\mu F}}\right) = j\left(\frac{9}{1 - 0{,}1}\right)\Omega = j10\,\Omega \\[6pt] Z_{\mathrm{Ges}} = Z_R + (Z_L || Z_C) = 10\,\Omega + j10\,\Omega = \sqrt{2} \cdot 10\,\Omega \cdot e^{j\frac{\pi}{4}} \\[6pt] i_0(\omega) = \frac{u_0(\omega)}{Z_{\mathrm{Ges}}} = \frac{10\,\mathrm{V}}{\sqrt{2} \cdot 10\,\Omega \cdot e^{j\frac{\pi}{4}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,\mathrm{A} \cdot e^{-j\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2}\,\mathrm{A}(1 - j) \\[6pt] s(\omega) = u(\omega) \cdot i(\omega)^* = 10\,\mathrm{V} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\,\mathrm{A} \cdot e^{\textcolor{#c00000}{+}j\frac{\pi}{4}} = \frac{10}{\sqrt{2}}\,\mathrm{VA} \cdot e^{j\frac{\pi}{4}} \\[6pt] \text{Autre méthode, sous forme algébrique : } s(\omega) = 10\,\mathrm{V} \cdot \frac{1}{2}\,\mathrm{A}(1 \textcolor{#c00000}{+} j) = 5\,\mathrm{VA}(1 + j) \end{gathered} \]

Simulation

Examinons les angles de phase :

\[ \begin{gathered} \varphi_u = 0 \\[4pt] \varphi_i = -\frac{\pi}{4} \\[4pt] \varphi = \varphi_u - \varphi_i = 0 - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4} \\[4pt] \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{gathered} \]

C’est aussi l’angle de phase de la puissance apparente. La puissance active est égale à la puissance dans la résistance, car la bobine et le condensateur ne reçoivent que de la puissance réactive. On a :

\[ \begin{gathered} p = \mathrm{Re}\{s\} = 5\,\mathrm{W} \\[4pt] \text{Autre méthode : } p = |s| \cdot \cos(\varphi) = \frac{10}{\sqrt{2}}\,\mathrm{VA} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 5\,\mathrm{W} \end{gathered} \]

Puissance efficace

En électrotechnique, les grandeurs complexes représentent toujours des valeurs de crête et une phase. Or la valeur de crête n’est pas une bonne mesure de la puissance, voir le chapitre Valeur moyenne et valeur efficace. En pratique, personne ne s’intéresse à la puissance active en valeur de crête. Pour savoir combien chauffe un sèche-cheveux, il nous faut toujours la puissance active efficace. On obtient la puissance apparente complexe efficace en utilisant les valeurs efficaces de la tension et du courant. Pour des tensions et courants sinusoïdaux, on a :

\[ \begin{gathered} u_{\mathrm{eff}} = \frac{\hat{u}}{\sqrt{2}} = \frac{|u|}{\sqrt{2}} \\[6pt] i_{\mathrm{eff}} = \frac{\hat{\imath}}{\sqrt{2}} = \frac{|i|}{\sqrt{2}} \\[6pt] |s_{\mathrm{eff}}| = u_{\mathrm{eff}} \cdot i_{\mathrm{eff}} = \frac{|u|}{\sqrt{2}} \cdot \frac{|i|}{\sqrt{2}} = \frac{|u| \cdot |i|}{2} \end{gathered} \]

La valeur efficace est un nombre réel, pas un nombre complexe. Elle ne contient pas d’angle ; ce n’est donc pas un vecteur. Elle n’a donc pas non plus de partie réelle ou imaginaire. C’est pourquoi on ne peut pas prendre le conjugué du courant efficace. Une fois la puissance apparente déterminée en valeur de crête, on calcule simplement la puissance apparente efficace avec la formule suivante :

\[ s_{\mathrm{eff}} = \frac{s}{2} \]

La puissance apparente efficace vaut la moitié de la valeur de crête de la puissance apparente. Cela vient du fait que les valeurs de crête de la tension et du courant ont chacune été divisées par √2.

Calcul de la puissance apparente dans les réseaux

Supposons que vous ayez déterminé la puissance apparente de tous les composants d’un circuit à partir de leurs tensions et courants. Comment déterminer la puissance apparente totale du circuit ? Il y a deux méthodes.

Vous pouvez calculer la puissance apparente de la source. Vous utilisez pour cela la tension et le courant de la source et calculez exactement comme pour des composants passifs.

Vous pouvez aussi additionner des puissances apparentes. Considérons d’abord un montage en série de deux composants. Dans les graphiques, j’utilise des résistances, mais les relations valent pour tous les types de composants. Le courant est le même dans les deux composants. Les tensions s’additionnent en une tension totale. La puissance apparente totale des deux composants s’obtient donc en additionnant les puissances apparentes individuelles. On a :

Montage en série de R1 et R2, même courant i1 = i2, tensions partielles u1 et u2 et tension totale uGes

\[ \begin{gathered} u_{\mathrm{Ges}}(\omega) = u_1(\omega) + u_2(\omega) \\[4pt] i_1(\omega) = i_2(\omega) = i_{\mathrm{Ges}}(\omega) \\[4pt] s_1(\omega) = u_1 \cdot i_{\mathrm{Ges}}^*(\omega) \\[4pt] s_2(\omega) = u_2 \cdot i_{\mathrm{Ges}}^*(\omega) \\[4pt] s_{\mathrm{Ges}}(\omega) = u_{\mathrm{Ges}} \cdot i_{\mathrm{Ges}}^*(\omega) = u_1 \cdot i_{\mathrm{Ges}}^*(\omega) + u_2 \cdot i_{\mathrm{Ges}}^*(\omega) = s_1(\omega) + s_2(\omega) \end{gathered} \]

Dans un montage en série, les puissances apparentes des composants s’additionnent pour donner celle de l’ensemble.

Examinons ensuite un montage en parallèle :

Montage en parallèle de R1 et R2, même tension, courants partiels i1 et i2 et courant total iGes — Ges = total

\[ \begin{gathered} u_{\mathrm{Ges}}(\omega) = u_1(\omega) = u_2(\omega) \\[4pt] i_{\mathrm{Ges}}(\omega) = i_1(\omega) + i_2(\omega) \\[4pt] s_1(\omega) = u_{\mathrm{Ges}} \cdot i_1^*(\omega) \\[4pt] s_2(\omega) = u_{\mathrm{Ges}} \cdot i_2^*(\omega) \\[4pt] s_{\mathrm{Ges}}(\omega) = u_{\mathrm{Ges}} \cdot i_{\mathrm{Ges}}^*(\omega) = u_{\mathrm{Ges}} \cdot i_1^*(\omega) + u_{\mathrm{Ges}} \cdot i_2^*(\omega) = s_1(\omega) + s_2(\omega) \end{gathered} \]

La puissance apparente totale de deux composants en parallèle est elle aussi égale à la somme de leurs puissances apparentes.

En série, le courant est le même dans les deux composants et leurs tensions s’additionnent. En parallèle, la tension est la même aux bornes des deux composants et leurs courants s’additionnent. Dans les deux cas, les puissances apparentes des composants s’additionnent pour donner la puissance apparente totale.

Peu importe donc le montage des composants : vous pouvez toujours additionner les puissances apparentes de tous les composants pour obtenir la puissance apparente totale du circuit.

Résumé

Si nous mesurons la tension et le courant dans le domaine temporel et les multiplions, nous obtenons la puissance instantanée u(t) ∙ i(t). Sa valeur moyenne dans le temps est la puissance active efficace. La composante de moyenne nulle, qui oscille à fréquence double, contient la puissance réactive. Dans le domaine temporel, ces grandeurs sont difficiles à séparer.

Considérons les grandeurs complexes u(ω) et i(ω)*. En les multipliant, nous obtenons la puissance apparente complexe s(ω). Sa partie réelle est la puissance active p(ω), sa partie imaginaire la puissance réactive q(ω). Si la puissance apparente est donnée sous forme algébrique, on lit donc facilement les parts active et réactive dans s(ω) = p(ω) + jq(ω).

La part de puissance active dans la puissance apparente est donnée par cos(φ) = p(ω) / |s(ω)|. L’angle φ est égal au déphasage entre tension et courant.