Électrotechnique BMT & UFC › Stockage d’énergie › Réservoir d’eau

Solution graphique

Ces relations se prêtent à une étude graphique : l’intégrale de l’évolution temporelle d’une grandeur est égale à l’aire sous la courbe. On complète l’exemple : le niveau ne change pas du tout pendant 10 secondes, le seau est ensuite rempli pendant 10 secondes, puis vidé pendant 20 secondes.

Débit v̇ en fonction du temps : 10 s sans changement, 10 s de remplissage, 20 s de vidage

\[ \begin{gathered} \text{Valeur initiale } h_0(t_{\mathrm{Start}}) = 15\,\mathrm{cm} \\[4pt] \text{aucun changement pendant } 10\,\mathrm{s} \\[4pt] \text{remplissage pendant } 10\,\mathrm{s} \text{ avec } \dot{v} = 1{,}5\,\frac{\mathrm{l}}{\mathrm{s}} \\[4pt] \text{vidage pendant } 20\,\mathrm{s} \text{ avec } \dot{v} = -1{,}5\,\frac{\mathrm{l}}{\mathrm{s}} \end{gathered} \]

Pendant les 10 premières secondes, le niveau ne change pas. Pendant ce temps, aucun calcul n’est manifestement nécessaire pour constater qu’à l’instant t = 10 s, le niveau vaut toujours h = 15 cm.

Pour résoudre graphiquement les intégrales, on détermine les aires sous la courbe du remplissage en fonction du temps. On a : l’intégrale est égale à l’aire sous la courbe intégrée.

\[ \begin{gathered} \int_{10\,\mathrm{s}}^{20\,\mathrm{s}} \dot{v}(t)\,dt = A_+ \\[4pt] A_+\text{ : aire marquée sur le graphique} \\[4pt] A_+ = \Delta\dot{v} \cdot \Delta t = 1{,}5\,\frac{\mathrm{l}}{\mathrm{s}} \cdot 10\,\mathrm{s} = 15\,\mathrm{l} = 0{,}015\,\mathrm{m}^3 \end{gathered} \]

Aire A+ sous le débit entre 10 s et 20 s

Au bout de 10 secondes a lieu le remplissage. Dans la formule, l’intégrale est remplacée par l’aire. On a :

\[ \begin{gathered} h(20\,\mathrm{s}) = \frac{1}{A} \cdot \int_{10\,\mathrm{s}}^{20\,\mathrm{s}} \dot{v}(t)\,dt + h_0(10\,\mathrm{s}) = \frac{1}{A} \cdot A_+ + h_0(10\,\mathrm{s}) = \frac{1}{0{,}1\,\mathrm{m}^2} \cdot 0{,}015\,\mathrm{m}^3 + 0{,}15\,\mathrm{m} = 0{,}3\,\mathrm{m} \\[6pt] \text{avec } \int_{10\,\mathrm{s}}^{20\,\mathrm{s}} \dot{v}(t)\,dt = A_+ = 0{,}015\,\mathrm{m}^3 \end{gathered} \]

L’aire sous la courbe du remplissage n’a en général pas pour unité le mètre carré. Il s’agit d’une astuce de calcul pour simplifier le calcul intégral. Il faut pour cela faire abstraction des unités. L’unité de cette « aire » est le produit des unités des deux axes (ici l/s et s).

Le résultat obtenu par le calcul d’aire est identique à celui obtenu avec la primitive. Cela montre, à titre d’exemple, que la méthode des aires est valable. Les aires sont souvent plus faciles à déterminer que les primitives. Bien sûr, ces aires ne sont pas toujours des rectangles. L’aire permet aussi de déterminer des intégrales de fonctions très complexes. La méthode est surtout avantageuse pour des courbes de mesure réelles, lorsqu’il faut estimer l’intégrale sous la courbe.

Appliquons la méthode au vidage :

\[ \begin{gathered} \text{Valeur initiale : } h_0(20\,\mathrm{s}) = 30\,\mathrm{cm} \\[4pt] \dot{v} = -1{,}5\,\frac{\mathrm{l}}{\mathrm{s}} \\[4pt] t_{\mathrm{Start}} = 20\,\mathrm{s} \\[4pt] t_{\mathrm{Ende}} = 40\,\mathrm{s} \\[6pt] h(40\,\mathrm{s}) = \frac{1}{A} \int_{t_{\mathrm{Start}}}^{t_{\mathrm{Ende}}} \dot{v}(t)\,dt + h_0 = \frac{1}{A} \int_{20\,\mathrm{s}}^{40\,\mathrm{s}} (-1{,}5)\,\frac{\mathrm{l}}{\mathrm{s}} \cdot dt + 30\,\mathrm{cm} \\[6pt] \text{Aire } A_- = \Delta\dot{v} \cdot \Delta t = -1{,}5\,\frac{\mathrm{l}}{\mathrm{s}} \cdot 20\,\mathrm{s} = -30\,\mathrm{l} = -0{,}03\,\mathrm{m}^3 \end{gathered} \]

Aire A− sous le débit entre 20 s et 40 s

Pour le niveau à l’instant t = 40 s, on a donc :

\[ \begin{gathered} h(40\,\mathrm{s}) = \frac{1}{A} \cdot \int_{20\,\mathrm{s}}^{40\,\mathrm{s}} \dot{v}(t)\,dt + h_0(20\,\mathrm{s}) = \frac{1}{A} \cdot A_- + h_0(20\,\mathrm{s}) = \frac{1}{0{,}1\,\mathrm{m}^2} \cdot (-0{,}03\,\mathrm{m}^3) + 0{,}3\,\mathrm{m} = 0\,\mathrm{m} \\[6pt] \text{avec } \int_{20\,\mathrm{s}}^{40\,\mathrm{s}} \dot{v}(t)\,dt = A_- = -0{,}03\,\mathrm{m}^3 \end{gathered} \]

À la fin, le seau est vide. En examinant le vidage du seau, le graphique montre immédiatement que l’aire sous l’axe du temps est deux fois plus grande que l’aire au-dessus de l’axe du temps. On vide deux fois plus d’eau du seau qu’on n’en a versé auparavant.

Pendant les intervalles où il n’y a ni arrivée ni écoulement, le niveau ne change pas.

Jusqu’ici, nous avons calculé le niveau à des instants fixes. Entre ces instants, l’évolution est linéaire lorsque le remplissage est constant.

Débit v̇(t) et niveau h(t) en fonction du temps

L’exemple intuitif du seau sert au chapitre suivant à expliquer le comportement des accumulateurs d’énergie électrique.