Écarts de mesure systématiques

Les écarts de mesure systématiques vont tous dans le même sens. Avec un mètre pliant trop court de 0,8 mm, nous effectuons 10 mesures successives de la longueur de la même table. Nous obtenons 10 valeurs dont la moyenne est un résultat débarrassé du hasard. Mais à cause de la longueur du mètre pliant, toutes les valeurs sont un peu plus élevées que dans la série de mesures avec le mètre idéal du chapitre précédent ; la moyenne est donc un peu au-dessus de la moyenne précédente.

Les valeurs mesurées autour de 73,05 cm ne sont alors pas toutes trop grandes de 0,8 mm, mais seulement proportionnellement de

\[ \Delta l = 0{,}8\,\mathrm{mm} \cdot \frac{73{,}05\,\mathrm{cm}}{2\,\mathrm{m}} = 0{,}3\,\mathrm{mm} \]

Un écart de longueur du mètre pliant provoque une erreur de pente, qui intervient comme facteur dans le résultat de mesure. Les mêmes mesures que dans l’exemple précédent donnent, avec le mètre pliant trop court, le résultat suivant :

Mesure	Valeur mesurée en cm
1	73,16
2	73,07
3	73,01
4	73,11
5	73,08
6	72,98
7	73,14
8	73,13
9	73,03
10	73,11
Moyenne	73,08

Sur la représentation graphique, on reconnaît l’effet des erreurs systématiques à un décalage de la moyenne :

Valeurs mesurées de la longueur de la table avec valeur vraie 73,05 cm et moyenne 73,08 cm décalée de l’écart systématique — Länge = longueur · Tisches = table · Wahrer Wert = valeur vraie · Mittelwert = valeur moyenne · Messungen = mesures

Si nous mesurons avec le même mètre pliant une table deux fois plus longue, l’écart entre la moyenne et la valeur vraie vaut

\[ \Delta l = 0{,}8\,\mathrm{mm} \cdot \frac{146{,}10\,\mathrm{cm}}{2\,\mathrm{m}} = 0{,}6\,\mathrm{mm} \]

Pour corriger une erreur de pente, on ne peut donc pas simplement soustraire une valeur constante du résultat comme pour une erreur d’offset ; il faut un facteur de correction. L’erreur systématique peut être de tout type (offset, pente, linéarité, etc.). Nous la corrigeons chaque fois avec les méthodes vues dans les chapitres précédents.

Les écarts aléatoires entre plusieurs mesures d’un même système se corrigent facilement par la moyenne. Le seul inconvénient est qu’il faut d’abord mesurer de nombreuses valeurs, en faire la moyenne, puis seulement fournir un résultat. Il y a donc un retard entre l’instant de mesure et l’instant d’affichage.

Les écarts aléatoires entre tous les systèmes de mesure d’une même production sont plus difficiles à corriger. Comme tous les systèmes – si l’on regarde d’assez près, jusqu’à la dernière décimale – donnent des valeurs différentes pour la même mesure, il faut déterminer les écarts aléatoires individuellement pour chaque appareil. S’il apparaît alors que tous les appareils se trompent par exemple de la même valeur, il s’agit d’une erreur systématique.

L’effort pour corriger les erreurs systématiques est relativement faible. L’erreur est déterminée une fois, puis corrigée de la même façon dans chaque système par le traitement numérique du signal. Les erreurs aléatoires doivent être déterminées et corrigées individuellement dans chaque système, au prix d’un gros effort. L’effort de correction dans le traitement numérique est toujours élevé lorsqu’il faut par exemple trouver la fonction réciproque d’une caractéristique non linéaire inconnue, différente dans chaque système. Cet effort est nécessaire pour construire des systèmes de mesure de haute précision. Il justifie une partie des prix élevés des appareils de mesure de qualité.

Résumé

Pour des grandeurs à distribution normale, on utilise les formules suivantes :

\[ \begin{gathered} \text{Valeur vraie } x_{\mathrm{wahr}} \\[6pt] \text{Moyenne } \bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} x_n \\[6pt] \text{Écart systématique de la moyenne par rapport à la valeur vraie : } x_{\mathrm{sys}} = \bar{x} - x_{\mathrm{wahr}} \\[6pt] \text{Écart aléatoire d’une grandeur } x \text{ par rapport à la moyenne : } x_{\mathrm{stoch}} = x - \bar{x} \end{gathered} \]