Comportement PT1 dans la boucle

Étudions maintenant le comportement PT1 dans une boucle de régulation. Si le paramètre A présente un comportement PT1, on obtient le schéma-bloc suivant :

Boucle de régulation avec processus PT1 k_PS / (1 + τ_S · s)

\[ \begin{gathered} A = \frac{k_{PS}}{1 + \tau_S \cdot s} \quad \text{(indice S : système sans régulation)} \\[8pt] H_{\mathrm{FÜ}} = \frac{A}{1 + A} = \frac{\frac{k_{PS}}{1 + \tau_S \cdot s}}{1 + \frac{k_{PS}}{1 + \tau_S \cdot s}}\text{, multiplier par } (1 + \tau_S \cdot s) \\[8pt] = \frac{k_{PS}}{1 + \tau_S \cdot s + k_{PS}} = \frac{k_{PS}}{(1 + k_{PS}) + \tau_S \cdot s}\text{, diviser par } (1 + k_{PS}) \\[8pt] = \frac{\frac{k_{PS}}{1 + k_{PS}}}{\frac{1 + k_{PS}}{1 + k_{PS}} + \frac{\tau_S}{1 + k_{PS}}\,s} = \frac{\frac{k_{PS}}{1 + k_{PS}}}{1 + \frac{\tau_S}{1 + k_{PS}}\,s} = \frac{k_{P,\mathrm{FÜ}}}{1 + \tau_{\mathrm{FÜ}} \cdot s} \\[8pt] \text{Indice FÜ : système régulé dans la boucle} \\[8pt] H_{\mathrm{FÜ}} = \frac{k_{P,\mathrm{FÜ}}}{1 + \tau_{\mathrm{FÜ}} \cdot s} \text{ avec } k_{P,\mathrm{FÜ}} = \frac{k_{PS}}{1 + k_{PS}} \text{ et } \tau_{\mathrm{FÜ}} = \frac{\tau_S}{1 + k_{PS}} \end{gathered} \]

Le comportement en poursuite est lui aussi de type PT1, mais ses paramètres caractéristiques diffèrent de ceux du comportement PT1 du bloc A. C’est surtout τ_FÜ qui change : il diminue quand k_PS augmente. k_PS permet donc de rendre le système régulé plus rapide que A.

En régime établi, on a :

\[ H_{\mathrm{FÜ}} = \frac{\frac{k_{PS}}{1 + k_{PS}}}{1 + \frac{\tau_S}{1 + k_{PS}} \cdot 0} = \frac{k_{PS}}{1 + k_{PS}} \neq 1 \]

Nous avons le même problème qu’avec le comportement P dans la boucle : pour des valeurs réelles de k_PS, le comportement en poursuite est toujours inférieur à 1. Il subsiste donc un écart même en régime établi. Cela tient au fait que le comportement PT1 se comporte comme un comportement P retardé. En régime établi, A prend des valeurs finies si l’on y insère un comportement PT1 ; un écart e doit donc subsister dans le système.

Le comportement PT1 dans la boucle est encore moins bon que le comportement P : il présente un écart permanent en régime établi et, de plus, un écart important dans la zone de transition après un échelon. Le comportement P, lui, réagit au moins immédiatement à l’échelon en sortie.