Analyse de phase

Pour un pendule, l’instant et le sens de la poussée sont importants. La même poussée peut accélérer ou freiner le pendule, selon le moment où elle a lieu.

Supposons que le pendule se déplace de droite à gauche. Si nous le poussons alors par la droite avec une force F, le mouvement s’accélère et l’énergie du système augmente. Si, pendant le mouvement de droite à gauche, nous le poussons avec une force dirigée vers la droite, nous freinons le pendule. Il importe donc que la poussée ait lieu au bon moment et dans le bon sens.

Pour des phénomènes périodiques, il vaut mieux exprimer les décalages temporels relatifs par un angle de phase que par un décalage en temps. Si quelque chose doit toujours se produire au maximum d’une sinusoïde, cela doit avoir lieu à la phase π/2. La phase est indépendante de la fréquence ; exprimé en temps, le décalage serait différent pour chaque fréquence. À quelle phase faut-il donc pousser le pendule pour l’accélérer ? Revoyez pour cela la troisième vidéo :

Nous voulons plus tard transposer nos connaissances sur les oscillations aux boucles de régulation. Faisons donc dès maintenant exercer par un actionneur une force continue et sinusoïdale sur le pendule. La boucle n’est pas encore fermée : nous ne considérons qu’un actionneur et le pendule comme processus.

Pour déterminer la bonne phase d’entraînement, considérons d’abord le sens du mouvement du pendule. S’il oscille de droite à gauche, la force doit agir de droite à gauche ; si elle agissait en sens inverse, le pendule serait freiné. On obtient l’allure de force suivante :

Accélérer le pendule : position x(t), sens du mouvement et force F(t) en phase avec le mouvement — Ziel = cible · Pendel = pendule · Beschleunigen = accélérer · Rechts = droite · Links = gauche · links = gauche · rechts = droite · Kraft = force · Bewegungsrichtung = sens du mouvement

Nous voulons d’abord entraîner le pendule. Si la force doit toujours être dirigée dans le sens du mouvement, elle doit être décalée de 90° ou π/2 vers la gauche par rapport à la position x du pendule (elle est en avance sur la position, phase +90°). Pour freiner le pendule, la force doit être décalée de 90° ou π/2 vers la droite (elle est en retard, phase −90°).

Freiner le pendule : position x(t), sens du mouvement et force F(t) opposée au mouvement — Ziel = cible · Pendel = pendule · Bremsen = freiner · Rechts = droite · Links = gauche · links = gauche · rechts = droite · Kraft = force · Bewegungsrichtung = sens du mouvement

Nous pouvons modifier la valeur de crête de l’oscillation en faisant commander le système oscillant par l’actionneur avec une certaine phase. Si nous freinons le pendule, la valeur de crête de l’oscillation diminue, et inversement.

Avec des phases comprises entre +90° et −90°, le pendule est plus ou moins freiné ou accéléré : phases de freinage et d’accélération alternent. Voici quelques graphiques :

Phase 0° : position, sens du mouvement, force et effet (accélération et freinage alternés) — Rechts = droite · Links = gauche · Bewegungsrichtung = sens du mouvement · links = gauche · rechts = droite · Kraft = force · Wirkung = effet

Avec un déphasage de 0°, le pendule n’est en moyenne ni accéléré ni freiné.

Phase −45° ou −π/4 : position, sens du mouvement, force et effet (freinage prédominant) — Bewegungsrichtung = sens du mouvement · Rechts = droite · Links = gauche · links = gauche · rechts = droite · Kraft = force · Wirkung = effet

Avec un déphasage de −45°, le freinage prédomine, car −45° est proche de −90°. À −90°, le pendule est freiné en permanence.

L’intensité du freinage et de la poussée peut bien sûr aussi être modifiée par la valeur de crête de la force. Indépendamment de celle-ci, on a pour la phase entre la position x et la force :

\[ \begin{gathered} \text{Phase} = [0° \ldots 180°]\text{ : accélération en moyenne} \\[6pt] \text{Phase} = 90°\text{ : accélération maximale} \\[6pt] \text{Phase} = [-180° \ldots 0°]\text{ : freinage en moyenne} \\[6pt] \text{Phase} = -90°\text{ : freinage maximal} \end{gathered} \]