Électrotechnique ETR › Calcul complexe en courant alternatif

Grandeurs électriques complexes

Considérons les tensions et les courants comme des nombres complexes. Nous modifions pour cela deux paramètres. D’abord, pour calculer des réseaux en tension alternative, il est utile de choisir comme paramètre en abscisse la pulsation ω au lieu de la fréquence f. L’avantage n’apparaîtra que dans quelques chapitres, lorsque nous étudierons les accumulateurs en courant alternatif. Pour passer de f à ω, il suffit de multiplier par le facteur 2π. On a ω = 2πf.

Ensuite, nous passons de la notation des angles en DEG (avec °) à la notation en RAD (avec π). Pour la conversion, utilisez la représentation suivante :

Cercle avec opérateurs de rotation : angles en degrés (noir) et en radians (rouge), p. ex. e^(j90°) = e^(jπ/2)

Réglez votre calculatrice sur RAD, sinon tous vos résultats seront faux. Calculer en RAD plutôt qu’en DEG est une convention arbitraire ; vous pouvez bien sûr tout calculer en DEG. Il faut choisir une représentation des angles, et j’ai choisi le RAD. À mon avis, cela n’a ni avantages ni inconvénients.

Convertissons d’abord des exemples d’évolutions de tension du domaine temporel u(t) en nombres complexes u(ω). On a :

Trois tensions (bleu 2 V avec π/2, rouge 1 V avec 0, vert 3 V avec −π/2) dans le domaine temporel et sous forme de vecteurs

\[ \begin{gathered} \textcolor{#2f5597}{\text{Domaine temporel : } u(t) = 2\,\mathrm{V} \cdot \sin\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)} \\[4pt] \textcolor{#2f5597}{\text{Longueur } \hat{u} = 2\,\mathrm{V} ;\; \text{angle } \varphi = \frac{\pi}{2} \text{ ou } 90^\circ} \\[4pt] \textcolor{#2f5597}{\text{Nombre complexe : } u(\omega) = 2\,\mathrm{V} \cdot e^{j\frac{\pi}{2}}} \\[8pt] \textcolor{#c00000}{\text{Domaine temporel : } u(t) = 1\,\mathrm{V} \cdot \sin(\omega t + 0)} \\[4pt] \textcolor{#c00000}{\text{Longueur } \hat{u} = 1\,\mathrm{V} ;\; \text{angle } \varphi = 0 \text{ ou } 0^\circ} \\[4pt] \textcolor{#c00000}{\text{Nombre complexe : } u(\omega) = 1\,\mathrm{V} \cdot e^{j0} = 1\,\mathrm{V}} \\[8pt] \textcolor{#70ad47}{\text{Domaine temporel : } u(t) = 3\,\mathrm{V} \cdot \sin\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right)} \\[4pt] \textcolor{#70ad47}{\text{Longueur } \hat{u} = 3\,\mathrm{V} ;\; \text{angle } \varphi = -\frac{\pi}{2} \text{ ou } -90^\circ} \\[4pt] \textcolor{#70ad47}{\text{Nombre complexe : } u(\omega) = 3\,\mathrm{V} \cdot e^{-j\frac{\pi}{2}}} \end{gathered} \]

En électrotechnique, les nombres complexes sont souvent soulignés. En toute rigueur, toutes les tensions, tous les courants complexes, etc. devraient toujours être soulignés. Sinon, on ne pourrait pas distinguer une tension continue d’une tension sinusoïdale purement réelle de même valeur de crête. Mais ce chapitre ne traite que du courant alternatif ; par paresse, je m’en dispense donc. Les grandeurs alternatives utilisent des minuscules et les grandeurs continues des majuscules. Cela doit suffire.

Exercice

a) Déterminez les paramètres valeur de crête, période, fréquence, pulsation et angle de phase de la tension u(t).

b) Décrivez mathématiquement la tension dans le domaine temporel.

c) Décrivez la tension dans le domaine fréquentiel, sous forme exponentielle et sous forme algébrique.

d) Tracez dans le cercle de la partie gauche de la figure le vecteur indiquant la valeur de crête et l’angle.

e) Reportez la valeur de crête et la phase dans un diagramme où les deux grandeurs sont tracées en fonction de la fréquence.

Solution :

\[ \begin{gathered} \text{a) } \hat{u} = 9\,\mathrm{V},\; T = 4\,\mathrm{s},\; f = 0{,}25\,\mathrm{Hz},\; \omega = 1{,}57\,\frac{1}{\mathrm{s}},\; \varphi = \frac{\pi}{4} \text{ ou } -\frac{7}{4}\pi \\[4pt] \text{b) } u(t) = 9\,\mathrm{V} \cdot \sin\left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right) \text{ avec } f = 0{,}25\,\mathrm{Hz} \\[4pt] \text{c) } u(\omega) = 9\,\mathrm{V} \cdot e^{j\frac{\pi}{4}} = \frac{9\,\mathrm{V} + j9\,\mathrm{V}}{\sqrt{2}} \\[4pt] \text{d) et e) Voir graphiques} \end{gathered} \]

Opérateurs de rotation typiques

Écrits sous forme exponentielle, les opérateurs de rotation ont automatiquement la longueur 1. Si nous décrivons des directions sous forme algébrique, nous devons d’abord en tirer un vecteur directeur normé de longueur 1.

La direction 0° pointe vers la droite dans le plan complexe. L’opérateur de rotation e^j0 pointe donc vers +1 sur l’axe réel. Les directions des 4 axes principaux s’écrivent assez facilement comme vecteurs directeurs :

\[ \begin{gathered} e^{j0} = 1\text{ : pointe vers la droite} \\[4pt] e^{j\frac{\pi}{2}} = j\text{ : pointe vers le haut} \\[4pt] e^{j\pi} = -1\text{ : pointe vers la gauche} \\[4pt] e^{j\frac{3}{2}\pi} = -j\text{ : pointe vers le bas} \\[4pt] e^{j2\pi} = 1\text{ : pointe vers la droite} \end{gathered} \]

Les bissectrices intermédiaires peuvent aussi s’écrire sous forme algébrique. Considérons pour cela une rotation de 45° ou π/4 :

\[ \begin{gathered} Z = e^{j\frac{\pi}{4}} = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + j\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0{,}71 + j0{,}71 = \frac{1}{\sqrt{2}} + j\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 + j}{\sqrt{2}} \\[6pt] \text{Vérification : le vecteur a-t-il la longueur 1 ?} \\[4pt] |Z| = \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1 \end{gathered} \]

Cercle unité avec le vecteur Z à 45° ; parties réelle et imaginaire de 0,71 chacune

Nous construisons le vecteur directeur à partir d’une partie réelle positive et d’une partie imaginaire positive. Les parties réelle et imaginaire sont plus petites que la longueur du vecteur.

Nous construisons les autres bissectrices selon un schéma semblable :

Cercle avec les huit angles typiques sous forme algébrique (noir), avec exposant positif (rouge) et négatif (bleu)

La figure ci-dessus contient plusieurs formes de représentation d’angles typiques. En noir, les angles sont donnés sous forme algébrique. En rouge, ils sont donnés en RAD dans le sens positif. Si nous inversons le signe de l’exposant, nous parcourons le cercle dans le sens des aiguilles d’une montre ; on obtient alors les notations bleues. Toutes les notations représentent les mêmes 8 angles.

Multiplication par j

Dans le calcul complexe en courant alternatif avec accumulateurs (plus tard), nous multiplions souvent des termes par j ou par −j. Une multiplication par j fait tourner un vecteur de 90° ou π/2 dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Une multiplication par −j le fait tourner de 90° ou π/2 dans le sens des aiguilles d’une montre. Ces multiplications sont de pures rotations, car chaque opérateur a la longueur 1. Elles ne changent donc pas la longueur du vecteur.

Une multiplication par j∙j fait tourner deux fois de π/2, soit de l’angle π au total. Si je pars de φ = 0 (donc de +1 sur l’axe réel) et que je tourne de π, j’arrive au point −1 de l’axe réel. L’affirmation des mathématiciens selon laquelle j∙j = −1 se comprend facilement avec ces rotations.

Sur la figure suivante, on a u_bleu = j ∙ 2 ∙ u_rouge. La valeur de crête de la courbe bleue est deux fois plus élevée que celle de la rouge. La phase de la courbe bleue est décalée de π/2 « vers la gauche ». Cela correspond à une multiplication par le facteur j.

Tension rouge de 1 V et tension bleue de 2 V, décalée de π/2 vers la gauche

\[ \begin{gathered} u_{\mathrm{bleu}} = 2 \cdot u_{\mathrm{rouge}} \cdot e^{j\frac{\pi}{2}} \\[4pt] \text{avec } e^{j\frac{\pi}{2}} = j \\[4pt] u_{\mathrm{bleu}} = 2 \cdot j \cdot u_{\mathrm{rouge}} \end{gathered} \]