Équations des composants

La physique des composants nous fournit les équations suivantes pour le calcul de la tension et du courant. Ces équations sont le résultat de la transformée de Laplace.

\[ \begin{gathered} \text{Résistance} \\[2pt] u(t) = R \cdot i(t) \\[4pt] u(\omega) = R \cdot i(\omega) \\[8pt] \text{Bobine} \\[2pt] u(t) = L \cdot \frac{di(t)}{dt} \\[4pt] u(\omega) = j\omega L \cdot i(\omega) \\[8pt] \text{Condensateur} \\[2pt] u(t) = \frac{1}{C} \cdot \int i(t)\,dt + U_{C0} \\[4pt] u(\omega) = \frac{1}{j\omega C} \cdot i(\omega) \end{gathered} \]

Ces équations indiquent quelle tension apparaît aux bornes d’un composant lorsque le courant est connu. Ou bien nous les utilisons dans l’autre sens pour calculer un courant lorsque la tension est connue.

Les trois équations des composants se ressemblent beaucoup. Nous exploitons cette ressemblance et définissons une impédance complexe Z(ω) qui permet de toujours calculer tension et courant de la même façon : on a toujours u(ω) = Z(ω) ∙ i(ω). On l’appelle aussi loi d’Ohm complexe, car elle ressemble à u(t) = R ∙ i(t). Nous définissons les impédances complexes des composants de sorte que la loi d’Ohm complexe s’applique :

\[ \begin{gathered} \text{Résistance : } Z_R = R \\[4pt] u(\omega) = R \cdot i(\omega) = Z_R \cdot i(\omega) \\[8pt] \text{Bobine : } Z_L = j\omega L \\[4pt] u(\omega) = j\omega L \cdot i(\omega) = Z_L \cdot i(\omega) \\[8pt] \text{Condensateur : } Z_C = \frac{1}{j\omega C} \\[4pt] u(\omega) = \frac{1}{j\omega C} \cdot i(\omega) = Z_C \cdot i(\omega) \end{gathered} \]

Une impédance est une résistance en courant alternatif. Elle indique quelle opposition un composant présente au courant alternatif. Plus l’impédance est grande, moins le courant est important. On calcule avec des impédances comme avec des résistances.

Nous définissons l’impédance complexe surtout pour pouvoir calculer en courant alternatif aussi simplement qu’en courant continu. C’est une simplification mathématique. Mais elle décrit aussi le comportement des composants en courant alternatif dans la logique du calcul complexe. Je tiens à vous le faire comprendre, car cela aide à la compréhension.

Signification de j et de ω

Le courant et la tension des accumulateurs sont liés mathématiquement par j et ω. Avec la définition des impédances complexes, les grandeurs j et ω sont déplacées dans l’équation du composant. Elles n’interviennent qu’à cause des composants ; c’est donc là qu’elles ont leur place. Grâce à cette astuce, les équations du réseau restent exactement les mêmes qu’en courant continu. En courant alternatif, par exemple, la même règle du diviseur de courant s’applique qu’en courant continu. Nous utilisons simplement des impédances complexes Z au lieu de valeurs de résistance R.

Le paramètre ω = 2πf est une fréquence. Plus la fréquence f de la tension alternative appliquée à un composant est élevée, plus ω est grand. Si l’impédance d’un composant contient le paramètre ω, sa résistance en courant alternatif varie avec la fréquence de la tension appliquée.

Le facteur ∙j fait tourner la phase de 90° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Dans le domaine temporel, il décale ainsi un signal alternatif vers la gauche : le signal est en avance. Le décalage angulaire de π/2 ou 90° correspond à un décalage temporel d’un quart de période. La durée d’une période dépend de la fréquence du signal (T = 1/f). La multiplication par ∙j avance donc un signal de T/4 dans le temps (vers la gauche). Un signal peut être une tension ou un courant, selon la grandeur devant laquelle apparaît le j.

Le facteur ∙(−j) fait tourner la phase de 90° dans le sens des aiguilles d’une montre. Dans le domaine temporel, cela correspond à un décalage du signal de T/4 vers la droite (retard).

La résistance ne fait pas tourner la phase ; son impédance est purement réelle. L’impédance de la bobine contient le facteur j. Celle du condensateur contient le facteur 1/j = −j. Les composants qui stockent de l’énergie font toujours tourner la phase de la tension et du courant l’une par rapport à l’autre de ±π/2 (facteur ±j).

Dans la suite du chapitre, nous étudions des exemples simples de calcul avec des impédances. Chaque fois, on calcule l’impédance d’un des trois composants, puis le courant alternatif qui le traverse sous une tension alternative.

Résistance

Commençons par la résistance ohmique R = 6 Ω. Elle est branchée sur une source de tension alternative idéale. Si la résistance est en parallèle avec la source, elle est soumise à la tension u_R = u₀. L’équation de maille s’applique en courant continu comme en courant alternatif.

\[ \begin{gathered} \text{Tension de la source : } u_0(t) = 3\,\mathrm{V} \cdot \sin(\omega t) \text{ avec } \varphi_{u0} = 0 \\[4pt] u_0(\omega) = 3\,\mathrm{V} \text{ avec } \varphi_{u0} = 0 \\[4pt] \text{Équation de maille : } u_R(\omega) = u_0(\omega) \\[4pt] \text{Impédance de la résistance : } Z_R = R = 6\,\Omega \\[4pt] \text{Courant : } i_R(\omega) = \frac{u_R(\omega)}{Z_R} = \frac{3\,\mathrm{V}}{6\,\Omega} = 0{,}5\,\mathrm{A} \text{ avec } \varphi_{iR} = 0 \end{gathered} \]

Simulation

Sur la figure ci-dessous, vous voyez en haut l’évolution temporelle de la tension et du courant de la résistance. Il apparaît clairement qu’il n’y a pas de déphasage. En dessous, vous voyez la tension complexe et le courant complexe. Ils ne sont pas tracés en fonction du temps t, mais de la pulsation ω. Dans cette représentation, courant et tension sont des points. Tout en bas, vous voyez la phase du courant et de la tension en fonction de la pulsation ω. La phase est elle aussi un point dans le diagramme.

Tension et courant de la résistance dans le domaine temporel, valeurs de crête et phases en fonction de la pulsation ω

Sur la figure du haut, la tension et le courant sont représentés simultanément sur un même graphique. Comme courant et tension ont des axes y différents avec des unités différentes, il faut tracer un axe y pour chacun. Les courbes rouges du courant se lisent donc sur l’axe des courants, les bleues de la tension sur l’axe des tensions. L’axe x (axe des temps) vaut pour les deux. Sur le graphique du bas, les phases de la tension et du courant sont égales. Pour qu’on voie les deux, le point de la phase du courant est représenté un peu plus petit que celui de la phase de la tension.

Condensateur

Appliquons maintenant la même tension u₀ à un condensateur de C = 1 mF. Calculons d’abord l’impédance du condensateur. La fréquence f est importante pour cela. Dans l’exemple, le circuit fonctionne à f = 1 kHz. On a

\[ \begin{gathered} f = 1\,\mathrm{kHz} \rightarrow T = \frac{1}{f} = 1\,\mathrm{ms} \\[4pt] \omega = 2\pi f = 6{,}28\,\mathrm{k}\frac{1}{\mathrm{s}} \\[4pt] Z_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{1}{j6{,}28\,\mathrm{k}\frac{1}{\mathrm{s}} \cdot 1\,\mathrm{mF}} = -j160\,\mathrm{m\Omega} = 160\,\mathrm{m\Omega} \cdot e^{-j\frac{\pi}{2}} \end{gathered} \]

Pour rappel : 1/j = −j. Comme une impédance représente toujours le quotient de la tension par le courant, toute impédance a pour unité l’ohm. La partie imaginaire de l’impédance d’un condensateur est toujours négative. Pour le courant, on a :

\[ \begin{gathered} \text{Équation de maille : } u_C(\omega) = u_0(\omega) = 3\,\mathrm{V} \text{ avec } \varphi_{uC} = 0 \\[4pt] i_C(\omega) = \frac{u_C(\omega)}{Z_C} = \frac{3\,\mathrm{V}}{160\,\mathrm{m\Omega} \cdot e^{-j\frac{\pi}{2}}} = \frac{3\,\mathrm{V}}{160\,\mathrm{m\Omega}} \cdot e^{j\frac{\pi}{2}} = j18{,}85\,\mathrm{A} \text{ avec } \varphi_{iC} = \frac{\pi}{2} \\[6pt] \text{Autre méthode : } i_C(\omega) = \frac{u_C(\omega)}{Z_C} = \frac{3\,\mathrm{V}}{(-j) \cdot 160\,\mathrm{m\Omega}} = j \cdot \frac{3\,\mathrm{V}}{160\,\mathrm{m\Omega}} = j18{,}85\,\mathrm{A} \end{gathered} \]

Simulation

Sur la courbe temporelle, le courant est décalé de π/2 vers la gauche par rapport à la tension. Le courant est en avance sur la tension. La valeur de crête du courant est de 18,85 A. Elle dépend du terme ωC de l’impédance. La valeur de crête du courant du condensateur dépend donc aussi de la fréquence. Le courant augmente linéairement avec la fréquence.

Tension et courant du condensateur dans le domaine temporel, valeurs de crête et phases en fonction de la pulsation ω

Les paramètres j et ω servent au calcul de l’impédance du condensateur. La pulsation ω entre dans la valeur numérique de l’impédance et n’est plus visible ensuite dans les formules. Le paramètre j est conservé dans les calculs suivants.

Bobine

Branchons maintenant la source sur une bobine. Calculons d’abord l’impédance d’une bobine de L = 5 mH, puis le courant correspondant à partir de la tension et de l’impédance :

\[ \begin{gathered} Z_L = j\omega L = j6{,}28\,\mathrm{k}\frac{1}{\mathrm{s}} \cdot 5\,\mathrm{mH} = j31{,}4\,\Omega = 31{,}4\,\Omega \cdot e^{j\frac{\pi}{2}} \\[4pt] \text{Équation de maille : } u_L(\omega) = u_0(\omega) = 3\,\mathrm{V} \text{ avec } \varphi_{uL} = 0 \\[4pt] i_L(\omega) = \frac{u_L(\omega)}{Z_L} = \frac{3\,\mathrm{V}}{31{,}4\,\Omega \cdot e^{j\frac{\pi}{2}}} = \frac{3\,\mathrm{V}}{31{,}4\,\Omega} \cdot e^{-j\frac{\pi}{2}} = 96\,\mathrm{mA} \cdot e^{-j\frac{\pi}{2}} = -j96\,\mathrm{mA} \text{ avec } \varphi_{iL} = -\frac{\pi}{2} \\[6pt] \text{Autre méthode : } i_L(\omega) = \frac{u_L(\omega)}{Z_L} = \frac{3\,\mathrm{V}}{j31{,}4\,\Omega} = -j\frac{3\,\mathrm{V}}{31{,}4\,\Omega} = -j96\,\mathrm{mA} \end{gathered} \]

Simulation

Tension et courant de la bobine dans le domaine temporel, valeurs de crête et phases en fonction de la pulsation ω — entspricht = correspond à

Pour la bobine aussi, le courant dépend de la fréquence. À tension constante, il diminue quand la fréquence f augmente.