Résonance

Vous avez peut-être déjà poussé un enfant sur une balançoire, ou vous vous y êtes assis vous-même. Vous aurez constaté que la fréquence d’oscillation de la balançoire ne change pas, quoi que vous fassiez. Vous pouvez pousser aussi fort que vous voulez, donner une impulsion violente… la balançoire oscille toujours à la même fréquence. Vous ne modifiez que la hauteur de la position extrême, c’est-à-dire la valeur de crête.

Tout système oscillant a une « fréquence de résonance » à laquelle il peut osciller. Vous pouvez modifier la fréquence de résonance de la balançoire par construction, en changeant la longueur des cordes : avec des cordes plus longues, la fréquence d’oscillation diminue. Mais une fois la balançoire suspendue, vous ne pouvez plus la changer. Elle ne dépend pas non plus du poids sur la balançoire.

La fréquence de résonance d’un système découle des équations physiques. Pour cela, nous établissons l’équation différentielle du mouvement. Jusqu’ici, nous avons travaillé avec les directions x et y pour décrire les deux formes d’énergie. Nous exprimons maintenant, par un artifice mathématique, les deux formes d’énergie en fonction de x seulement et les égalons. Nous considérons pour cela le pendule écarté comme un triangle.

Pendule écarté de longueur l, angle φ, poids F_G et force de rappel F_R

\[ \begin{gathered} \sin(\varphi) = \frac{x}{l} \\[6pt] F_R = -F_G \cdot \sin(\varphi) \\[6pt] F_G = m \cdot g \\[6pt] F_R = -m \cdot g \cdot \sin(\varphi) \\[6pt] F_R = -m \cdot g \cdot \frac{x}{l} \end{gathered} \]

Une composante du poids F_G maintient le fil du pendule tendu ; elle agit dans la direction du fil, vers le bas à droite. Une autre composante du poids est la force de rappel F_R, qui agit dans la direction du mouvement du pendule. Son signe est négatif, car elle agit dans la direction −x. On peut calculer cette force à partir de la masse du pendule m, de l’accélération de la pesanteur g, de l’écart x et de la longueur du fil l.

Pour la force d’un mouvement, on a :

\[ \begin{gathered} \text{Force du mouvement } F_{\mathrm{Kin}} = m \cdot a \\[6pt] a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2 x}{dt^2} \\[6pt] F_{\mathrm{Kin}} = m \cdot \frac{d^2 x}{dt^2} \end{gathered} \]

Nous simplifions de nouveau en supposant que le mouvement n’a lieu que selon x. Le calcul ne vaut donc que pour des pendules dont l’écart x est si faible par rapport à la longueur l du fil que la composante y du mouvement est négligeable.

Nous égalons maintenant les forces. On a :

\[ \begin{gathered} F_{\mathrm{Kin}} = F_R \\[6pt] m \cdot \frac{d^2 x(t)}{dt^2} = -m \cdot g \cdot \frac{x(t)}{l} \\[6pt] \text{Équation du mouvement : } \frac{d^2 x(t)}{dt^2} = -\frac{g}{l} \cdot x(t) \end{gathered} \]

Seuls les mouvements qui satisfont la dernière équation peuvent exister. L’équation vaut lorsqu’aucune énergie n’est apportée ni retirée de l’extérieur. Pour vérifier si le pendule peut effectuer « de lui-même » un certain type de mouvement, on insère la description mathématique de ce mouvement dans l’équation. Si l’équation admet une solution avec cette forme de mouvement, le mouvement est possible.

L’équation est satisfaite pour x(t) = 0 : c’est le pendule au repos. Ce point de fonctionnement est mathématiquement correct, mais il n’aide pas à évaluer une oscillation.

Parenthèse : on peut aussi essayer d’autres types de mouvement, par exemple un mouvement linéaire.

\[ \begin{gathered} \text{Mouvement linéaire avec } x(t) = m \cdot t + b \\[6pt] m \text{ et } b \text{ sont les paramètres généraux d’une équation de droite} \\[6pt] \text{Équation du mouvement : } \frac{d^2 x(t)}{dt^2} = -\frac{g}{l} \cdot x(t) \\[6pt] \text{Substitution : } \frac{d^2 (m \cdot t + b)}{dt^2} = -\frac{g}{l} \cdot (m \cdot t + b) \\[6pt] \text{D’abord la dérivée seule : } \frac{d^2 (m \cdot t + b)}{dt^2} = 0 \\[6pt] \text{Au total : } 0 = -\frac{g}{l} \cdot (m \cdot t + b) \\[6pt] 0 = -\frac{g}{l} \cdot x(t) \end{gathered} \]

Pour un mouvement linéaire, l’équation n’est satisfaite à tout instant t que si m = 0 et b = 0, c’est-à-dire x(t) = 0 : c’est l’immobilité. Un pendule ne peut donc pas avoir de mouvement linéaire, car un mouvement suppose des valeurs de x différentes de 0.

Par cette parenthèse, je voulais simplement vous montrer quel mouvement n’est pas possible. Si vous ne le comprenez pas encore, ce n’est pas grave. La section suivante présente un mouvement physiquement possible ; la comparaison des fonctions de mouvement devrait montrer lequel est possible et pourquoi.

Essayons autre chose : nous savons déjà que le mouvement selon x est sinusoïdal. Nous insérons donc une sinusoïde et regardons si l’équation est satisfaite. Pour rester cohérent avec la littérature, j’utilise un cosinus plutôt qu’un sinus ; cela ne change que la phase. Nous lâchons maintenant le pendule dans une position extrême : nous partons donc d’une valeur de x maximale positive et avons un mouvement en cosinus.

\[ \begin{gathered} \frac{d^2 x(t)}{dt^2} = -\frac{g}{l} \cdot x(t) \\[6pt] \text{Substitution : } x(t) = \cos(\omega t) \rightarrow \frac{d^2 x(t)}{dt^2} = -\omega^2 \cos(\omega t) \\[6pt] -\omega^2 \cos(\omega t) = -\frac{g}{l} \cdot \cos(\omega t) \\[6pt] \text{Substitution : } \cos(\omega t) = x(t) \\[6pt] -\omega^2 \cdot x(t) = -\frac{g}{l} \cdot x(t) \end{gathered} \]

On peut simplifier par x(t), ce qui rend l’équation plus simple :

\[ \begin{gathered} -\omega^2 x(t) = -\frac{g}{l} \cdot x(t) \\[6pt] -\omega^2 = -\frac{g}{l} \\[6pt] \text{Fréquence de résonance : } \omega = \sqrt{\frac{g}{l}} \end{gathered} \]

Pour qu’un mouvement existe, les deux membres de l’équation doivent être égaux. Le terme x(t) figure des deux côtés et y est déjà égal. Les termes restants imposent une condition à ω : pour un mouvement x(t) = cos(ωt), l’équation impose à ω une valeur fixe, la fréquence de résonance.

L’équation admet une solution pour tout x si l’on prend comme forme de mouvement un sinus ou un cosinus. Un mouvement sinusoïdal est donc possible pour un pendule avec n’importe quelle valeur de crête (faible). Comparons avec le mouvement linéaire : l’équation n’y avait que la solution x = 0, point de départ du mouvement linéaire, qui correspond à l’immobilité. Le pendule ne peut donc qu’osciller de façon sinusoïdale ou rester immobile.

Le pendule oscille toujours de façon sinusoïdale à la fréquence de résonance, déterminée par l’accélération de la pesanteur et la longueur du fil. À toute autre pulsation, l’équation du mouvement n’est pas satisfaite. Le pendule ne peut donc osciller qu’à une seule fréquence, ce qui concorde avec l’expérience pratique.

Dès que des forces extérieures interviennent, le pendule peut effectuer n’importe quelle autre forme de mouvement. Si vous l’arrêtez ou le poussez à la main, l’équation du mouvement, établie pour deux forces internes seulement, ne s’applique plus.

Fait intéressant : la fréquence de résonance du pendule ne dépend que de la longueur du fil (et de l’accélération de la pesanteur), et non du poids. On ne peut le voir qu’après avoir établi l’équation des forces de la physique. Chaque système oscillant a ses propres équations du mouvement ou équations du système, qui traduisent sa physique. La plupart ne sont pas aussi simples que celle du pendule ; c’est pourquoi je ne les approfondis pas ici.