Électrotechnique BMT & UFC › Bases de l’électricité

Conductance et conductivité

Dans les exemples précédents, nous avons toujours dit que nous créions entre deux corps un chemin pour les charges mobiles. Cela se fait au moyen de liaisons en matériaux qui conduisent bien le courant électrique, appelés conducteurs. La conductance électrique désigne la propriété d’une liaison ou d’un composant de conduire particulièrement bien le courant électrique. Si une faible tension (force sur la charge) entre 2 points suffit déjà à faire circuler beaucoup de courant, la zone entre ces points conduit bien. La conductance G est définie par

\[ G = \frac{I}{U} \]

L’unité de la conductance se compose de l’unité du courant, A, et de l’unité de la tension, V. Comme la conductance est centrale en électrotechnique, elle reçoit sa propre unité, le siemens (S).

Grandeur physique	Symbole	Nom de l’unité	Symbole de l’unité
Conductance	\(G\)	siemens	\(1\,\mathrm{S} = 1\,\mathrm{A}/\mathrm{V}\)

La conductance dépend de paramètres de matériau et de géométrie. On a

\[ \begin{gathered} G = \kappa \cdot \frac{A}{l} \\[6pt] \begin{aligned} &\kappa\text{ : conductivité d’un matériau} \\ &A\text{ : section} \\ &l\text{ : longueur} \end{aligned} \end{gathered} \]

κ est un paramètre de matériau. Le cuivre, par exemple, conduit mieux que le plastique ; on a donc

\[ \kappa_{\mathrm{CU}} > \kappa_{\mathrm{plastique}} \]

C’est pourquoi les câbles sont en cuivre. Le cuivre présente une bonne conductivité électrique et un prix relativement bas. On garantit ainsi que le courant circule facilement dans le câble. Les âmes conductrices en cuivre d’un câble sont gainées de plastique, qui conduit extrêmement mal le courant. On empêche ainsi le courant de circuler en dehors du câble.

La plupart des liaisons entre composants sont des fils ou des câbles. Sur les circuits imprimés, on trouve des pistes de cuivre posées à plat sur le support. Un fil de cuivre cylindrique possède une section, une longueur et une conductivité.

Fil cylindrique de rayon r et de longueur l — Draht = fil

\[ \begin{gathered} \text{Pour un fil cylindrique, on a (pas en général)} \\[4pt] A = \pi \cdot r^2 \\[4pt] \kappa_{\mathrm{CU}} = 56\,\frac{\mathrm{Sm}}{\mathrm{mm}^2} \\[4pt] G = \kappa_{\mathrm{CU}} \cdot \frac{A}{l} = 56\,\frac{\mathrm{Sm}}{\mathrm{mm}^2} \cdot \frac{\pi \cdot r^2}{l} \end{gathered} \]

Les valeurs de la conductivité κ, propre au matériau, se trouvent dans des tableaux. κ a pour unité Sm/mm². On rencontre parfois aussi des valeurs en µS/m. Pour calculer une conductance, il est judicieux d’exprimer directement la section A dans l’unité de la conductivité. Les unités se simplifient alors sans préfixes supplémentaires. Dans l’exemple ci-dessus, il vaut donc mieux exprimer la section en mm².

Pour relier par exemple une batterie à une LED afin d’en faire une lampe de poche, il nous faut deux fils de conductance aussi élevée que possible. Si la conductance est faible, une partie de la tension de la batterie est déjà perdue dans le fil, car on a U = I/G pour le fil. Le courant I dont nous avons besoin dans la LED provoque une tension U dans le fil. Cette tension est d’autant plus grande que la conductance G du fil est faible. Le fil doit donc être aussi court et épais que possible et en matériau très conducteur.

Résistance ohmique

La résistance ohmique R est l’inverse de la conductance G. Elle porte le nom de M. Ohm. L’électrotechnique fonctionnerait aussi avec la seule conductance, mais la résistance (j’omets « ohmique » par paresse) s’est imposée comme grandeur supplémentaire. On a

\[ \begin{gathered} R = \frac{1}{G} \\[6pt] G = \frac{I}{U} \\[6pt] \text{Loi d'Ohm : } R = \frac{U}{I} \end{gathered} \]

La loi d’Ohm est une équation centrale de l’électrotechnique. En raison de U = R ∙ I, on l’appelle aussi « URI » en allemand. À quoi sert la résistance ? Elle décrit quelle opposition est faite au passage du courant lorsqu’une tension est appliquée. Plus la résistance est grande, plus le courant est faible.

Grandeur physique	Symbole	Nom de l’unité	Symbole de l’unité
Résistance	\(R\)	ohm	\(1\,\Omega = 1\,\mathrm{V}/\mathrm{A}\)

L’unité de la résistance est l’ohm (Ω). Comme la conductance, la résistance dépend du matériau et de la géométrie selon

\[ \begin{gathered} R = \frac{1}{G} = \frac{1}{\kappa} \cdot \frac{l}{A} \;\text{ ou }\; R = \frac{1}{G} = \rho \cdot \frac{l}{A} \\[6pt] \rho = \frac{1}{\kappa} \;\text{ avec }\; [\rho] = \frac{\Omega\,\mathrm{mm}^2}{\mathrm{m}} \\[6pt] \begin{aligned} &\kappa\text{ : conductivité} \\ &\rho\text{ : résistivité} \\ &A\text{ : section} \\ &l\text{ : longueur} \end{aligned} \end{gathered} \]

La conductivité κ peut aussi être donnée sous forme de résistivité ρ.

La notion de résistance

Tout corps présente une résistance ohmique, qui découle de sa géométrie et de son coefficient de matériau. Le mot résistance désigne donc une propriété de tout corps.

Dans les circuits électriques, il existe un composant appelé lui aussi « résistance ». Il a deux bornes. Il présente une résistance ohmique (en tant que propriété) qui limite le courant dans un circuit. On peut réaliser des circuits simples avec des résistances, car elles permettent de déterminer où et combien de courant circule dans un circuit.

Analogie avec le modèle hydraulique

Le modèle hydraulique aide à comprendre les relations entre tension, courant et résistance. Imaginons un lac sur une montagne. Depuis le lac, une rivière descend la montagne jusqu’à la mer.

L’eau sur la montagne a le potentiel de s’écouler vers la mer. L’eau de la mer n’a pas le potentiel de remonter la montagne jusqu’au lac. La hauteur de l’eau sur la montagne est plus grande que dans la mer. Son potentiel à s’écouler vers le bas aussi. La hauteur de l’eau est analogue au potentiel électrique d’un corps. La différence de hauteur entre la montagne et la mer entraîne l’eau. La différence de potentiel entre deux corps correspond à la tension. La différence de hauteur est donc analogue à la tension électrique.

Plus la différence de hauteur entre la montagne et la mer est grande, plus la rivière coule vite. Le débit de l’eau est analogue au courant électrique. Plus la tension entre deux corps est élevée, plus le courant électrique est grand. De même que la tension est proportionnelle à la force sur les charges mobiles, la différence de hauteur est la cause de la force exercée sur l’eau.

Le débit de la rivière peut être influencé par son lit. Plus le passage pour l’eau est étroit, moins il s’écoule d’eau par unité de temps. L’étroitesse décrit la section disponible A du lit. Plus le parcours l de l’eau entre la source et l’embouchure est long, plus l’eau coule lentement, car sur cette longueur la différence de hauteur devient une pente.

On peut aussi définir une résistance à l’écoulement de l’eau. Avec une grande résistance, l’eau s’écoule plus lentement. Si la rivière est envahie par la végétation, au point que lianes et feuilles poussent partout jusqu’à sa surface, l’eau ne peut pas s’écouler aussi vite, car les plantes la freinent. La quantité de végétation ρ est une sorte de paramètre de matériau qui réduit le débit pour une différence de hauteur donnée. Pour cette résistance hydraulique, on a

\[ R_{\mathrm{eau}} = \rho_{\mathrm{végétation}} \frac{l_{\mathrm{rivière}}}{A_{\mathrm{lit}}} \]

La résistance d’un fil, par exemple, est analogue au lit de la rivière. Plus la résistance est élevée, plus le courant est faible pour une même tension. La résistance augmente avec la longueur du fil et avec le paramètre de matériau, et elle diminue avec la section du fil.

Le modèle hydraulique est maintenant complété par des réservoirs et des tuyaux. La différence de hauteur entre deux réservoirs correspond à la tension. Le diamètre et la longueur d’un tuyau entre les réservoirs définissent la résistance. Il s’établit alors entre les réservoirs une variation de la quantité d’eau par unité de temps selon la loi d’Ohm :

Tuyau d’eau incliné de section A, de longueur l et de différence de hauteur h

\[ \begin{gathered} \text{Résistance du tuyau : } R = \rho_{\mathrm{tuyau}} \cdot \frac{l}{A} \\[6pt] I = \frac{U}{R} \rightarrow \text{variation de la quantité d'eau} = \frac{\text{hauteur}}{\text{résistance du tuyau}} = \frac{h}{\rho \cdot \dfrac{l}{A}} \end{gathered} \]