Fonction de transfert

Dans l’avant-dernier chapitre, nous avons ouvert la boucle de régulation pour déterminer le gain de boucle. Nous la refermons maintenant et étudions la fonction de transfert d’une boucle de régulation, dans laquelle nous pouvons insérer le gain de boucle. Considérons un système formé de deux blocs I en série dans une boucle. Deux éléments de stockage sont en jeu ; une oscillation est donc possible. On a :

Boucle de régulation avec régulateur k_I et deux intégrateurs 1/s

\[ \begin{gathered} A = k_I \cdot \frac{1}{s} \cdot \frac{1}{s} = \frac{k_I}{s^2} \\[6pt] \text{Gain de boucle : } v_R = -k_I \cdot \frac{1}{s} \cdot \frac{1}{s} = -A \\[6pt] \text{Comportement en poursuite : } H_{\mathrm{FÜ}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{A}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{v_R}} \\[6pt] \text{Condition d’oscillation : } v_R = 1 \\[6pt] H_{\mathrm{FÜ}}(v_R = 1) = \frac{1}{1 - \frac{1}{v_R}} = \frac{1}{1 - 1} = \frac{1}{0} \rightarrow \infty \end{gathered} \]

Quand un système régulé oscille, le dénominateur de sa fonction de transfert tend vers 0 et la fonction de transfert devient infiniment grande. On peut donc calculer quand un système oscille : on annule le dénominateur de sa fonction de transfert et l’on regarde si l’équation a une solution. Si oui, le système oscille.

\[ \begin{gathered} H_{\mathrm{FÜ}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{A}} = \frac{1}{1 + \frac{s^2}{k_I}} \\[6pt] \text{On pose } s = j\omega \\[6pt] H_{\mathrm{FÜ}} = \frac{1}{1 - \frac{\omega^2}{k_I}} \\[6pt] \text{Oscillation si dénominateur} = 0 \rightarrow \frac{\omega_0^2}{k_I} = 1 \text{ soit } \omega_0 = \sqrt{k_I} \\[6pt] \text{Par ex. } k_I = 1 \rightarrow \omega_0 = 1\,\frac{1}{\mathrm{s}}\text{ : « pulsation de résonance »} \\[6pt] \text{Fréquence de résonance } f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} = 0{,}16\,\mathrm{Hz} \\[6pt] \text{Période : } T_0 = \frac{1}{f_0} = \frac{2\pi}{\omega_0} = 6{,}28\,\mathrm{s} \\[6pt] \text{Avec } \mathrm{s}\text{ : seconde (droit) et } s\text{ : fréquence complexe (italique)} \end{gathered} \]

Remarque : ici, exprimer les temps en minutes n’aurait pas de sens ; on utilise donc exceptionnellement des secondes. Pour les secondes, la lettre s est écrite en gras.

Il existe une solution pour laquelle le dénominateur de la fonction de transfert s’annule. Le système oscille donc à la pulsation qui annule le dénominateur : c’est notre fréquence de résonance.

La réponse indicielle d’un système oscillant oscille après l’échelon d’entrée. L’évolution de la réponse indicielle du système d’exemple avec k_I = 1 est représentée ci-dessous. L’échelon de la grandeur d’entrée, en bleu, a lieu à t = 1 s.

Échelon à l’entrée à t = 1 et oscillation non amortie de la sortie entre 0 et 2 — Eingang = entrée · Ausgang = sortie · Wert = valeur

L’oscillation de la grandeur de sortie commence dès que l’entrée subit l’échelon. La période T₀ du graphique correspond à la valeur calculée T₀ = 6,28 s ; on la détermine à partir de l’écart entre deux maxima. Une oscillation sinusoïdale entretenue est caractérisée par le paramètre « fréquence d’oscillation » ou « fréquence de résonance », toujours disponible sous forme de pulsation ω, de fréquence f et de période T.

La valeur de crête de l’oscillation vaut 1. Après l’échelon, la grandeur de sortie oscille autour de la grandeur de référence w = 1.

Exercice

Modélisez le système régulé dans Matlab Simulink. Excitez-le par un échelon de 0 à 1. Faites varier k_I et observez l’évolution du comportement de sortie. Voici la solution pour k_I = 1 :

Modèle de simulation de la boucle avec source d’échelon, gain 1, deux intégrateurs et oscilloscope, et oscillation entretenue simulée

La fréquence de résonance dépend de k_I ; on s’attend donc à ce qu’elle varie avec k_I. Dans cette boucle, le paramètre k_I joue le rôle de la longueur du fil pour le pendule : il influe sur la fréquence de résonance.