Décalage dans les signaux

Reprenons l’exemple de la PT100 alimentée par la source de courant. Nous voulons conditionner la tension du capteur pour un CAN dont la tension de référence est de 3 V. Examinons le gain nécessaire ou possible :

\[ \begin{gathered} \text{Calcul du gain possible :} \\[6pt] T = [0\,°\mathrm{C} \ldots 100\,°\mathrm{C}] \\[6pt] u_S = [1\,\mathrm{V} \ldots 1{,}4\,\mathrm{V}] \\[6pt] U_{\mathrm{Ref}} = 3\,\mathrm{V} \\[6pt] \text{Gain maximal : } v_{\mathrm{Max}} = \frac{U_{\mathrm{Ref}}}{u_{S,\mathrm{Max}}} = \frac{3\,\mathrm{V}}{1{,}4\,\mathrm{V}} = 2{,}14 \\[6pt] u_{\mathrm{Ein,ADC}} = v \cdot u_S = 2{,}14 \cdot [1\,\mathrm{V} \ldots 1{,}4\,\mathrm{V}] = [2{,}14\,\mathrm{V} \ldots 3\,\mathrm{V}] \end{gathered} \]

Tension du capteur u_S entre 1 V et 1,4 V et tension amplifiée u_Ein,ADC entre 2,14 V et 3 V — Ein = entrée

Si l’on soustrait d’abord de ce signal l’offset U_OFFSET = 1 V, on a :

\[ \begin{gathered} \text{Calcul du gain } \textbf{avec} \text{ décalage :} \\[6pt] T = [0\,°\mathrm{C} \ldots 100\,°\mathrm{C}] \\[6pt] u_S = [1\,\mathrm{V} \ldots 1{,}4\,\mathrm{V}] \\[6pt] U_{\mathrm{Ref}} = 3\,\mathrm{V} \\[6pt] \text{Tension de décalage : } U_V = U_{OS} = 1\,\mathrm{V} \\[6pt] u_S - U_V = [1\,\mathrm{V} \ldots 1{,}4\,\mathrm{V}] - 1\,\mathrm{V} = [0\,\mathrm{V} \ldots 0{,}4\,\mathrm{V}] \\[6pt] \text{Gain maximal : } v_{\mathrm{Max}} = \frac{U_{\mathrm{Ref}}}{(u_S - U_V)_{\mathrm{Max}}} = \frac{3\,\mathrm{V}}{0{,}4\,\mathrm{V}} = 7{,}5 \\[6pt] u_{\mathrm{Ein,ADC}} = v \cdot (u_S - U_V) = 7{,}5 \cdot [0\,\mathrm{V} \ldots 0{,}4\,\mathrm{V}] = [0\,\mathrm{V} \ldots 3\,\mathrm{V}] \end{gathered} \]

Tension du capteur décalée u_S − U_V entre 0 V et 0,4 V et tension de sortie U_Aus,OP entre 0 V et 3 V — Aus = sortie

Le signal rouge montre chaque fois la tension d’entrée du CAN, à la sortie du montage à AOP. Avec le signal d’abord décalé puis amplifié, la plage d’entrée du CAN est bien mieux exploitée. La caractéristique est alors proportionnelle, car elle n’a plus d’offset.

La sensibilité d’une caractéristique correspond à sa pente. Elle indique de combien varie la grandeur de sortie quand la grandeur d’entrée varie. Avec une sensibilité élevée, la grandeur de sortie varie fortement même si la grandeur d’entrée ne varie que très peu. C’est le comportement qu’il nous faut derrière un capteur. Pour la sensibilité des deux solutions à l’entrée du CAN, on a :

\[ \begin{gathered} \text{Sans décalage : } m_1 = \frac{\Delta u_{\mathrm{Ein,ADC}}}{\Delta T} = \frac{(3\,\mathrm{V} - 2{,}14\,\mathrm{V})}{100\,°\mathrm{C}} = 8{,}6\,\frac{\mathrm{mV}}{°\mathrm{C}} \\[6pt] \text{Avec décalage : } m_2 = \frac{\Delta u_{\mathrm{Ein,ADC}}}{\Delta T} = \frac{(3\,\mathrm{V} - 0\,\mathrm{V})}{100\,°\mathrm{C}} = 30\,\frac{\mathrm{mV}}{°\mathrm{C}} \end{gathered} \]

Il est donc avantageux de décaler d’abord la tension du capteur, puis seulement de l’amplifier, si elle présente un offset. L’avantage est d’autant plus grand que l’offset est grand par rapport à la « partie utile » de la tension du capteur. La partie utile est la partie de la tension influencée par la grandeur physique.

Voici encore un exemple qui montre les avantages du décalage du signal du capteur :

\[ \begin{gathered} \text{Capteur : } u_S(t) = 15\,\mathrm{mV} \cdot \sin(\omega t) \\[6pt] \text{CAN : } U_{\mathrm{Ref}} = 3\,\mathrm{V} \end{gathered} \]

Signal alternatif u_S(t) entre −15 mV et 15 mV, amplification et CAN de plage d’entrée 0 V à 3 V

Pour amplifier la valeur de crête de 15 mV de la tension du capteur jusqu’à la tension de référence de 3 V du CAN, il faut un facteur v = 200. Mais la plus petite tension du capteur, −15 mV, est alors amplifiée à −3 V. On ne peut résoudre ce problème qu’en décalant d’abord le signal, puis en l’amplifiant. Si l’on décale d’abord le signal de 15 mV vers le haut, on a :

\[ \begin{gathered} \text{Capteur : } u_S(t) = 15\,\mathrm{mV} \cdot \sin(\omega t) \\[6pt] u_S = [-15\,\mathrm{mV} \ldots 15\,\mathrm{mV}] \\[6pt] \text{CAN : } U_{\mathrm{Ref}} = 3\,\mathrm{V} \\[6pt] \text{Tension de décalage : } U_V = 15\,\mathrm{mV} \\[6pt] u_S + U_V = [-15\,\mathrm{mV} \ldots 15\,\mathrm{mV}] + 15\,\mathrm{mV} = [0\,\mathrm{mV} \ldots 30\,\mathrm{mV}] \\[6pt] \text{Gain : } v = \frac{U_{\mathrm{Ref}}}{(u_S + U_V)_{\mathrm{Max}}} = \frac{3\,\mathrm{V}}{30\,\mathrm{mV}} = 100 \end{gathered} \]

Signal du capteur, signal décalé de 15 mV et signal amplifié d’un facteur 100 entre 0 V et 3 V

On ne décale et n’amplifie pas des valeurs de tension isolées, mais des plages de tension. Un système de mesure indique une étendue de mesure dans la grandeur physique. Un capteur de pression mesure par exemple la pression dans la plage P = [0 .. 20 bar]. Il en résulte une tension de capteur comprise dans une plage de valeurs, et non une valeur fixe. Le CAN accepte en entrée des tensions dans la plage [0 V … U_Ref]. Nous devons voir comment convertir de telles plages.

Calcul avec des plages de valeurs

Si l’on ajoute une « valeur de décalage » à une plage de valeurs, cette addition agit sur toutes les valeurs, donc aussi sur les bornes de la plage. Dans les systèmes linéaires, il suffit de considérer les bornes. On a :

\[ \begin{gathered} \text{Plage} = [\text{Min} \ldots \text{Max}] \\[6pt] \text{Plage décalée} = [\text{Min} + \text{décalage} \ldots \text{Max} + \text{décalage}] \end{gathered} \]

Si l’on multiplie une plage de valeurs par un facteur, toutes les valeurs de la plage sont multipliées par ce facteur, y compris les bornes. On a

\[ \begin{gathered} \text{Plage} = [\text{Min} \ldots \text{Max}] \\[6pt] \text{Plage amplifiée} = [\text{Min} \cdot \text{facteur} \ldots \text{Max} \cdot \text{facteur}] \end{gathered} \]

Tout l’art consiste à trouver le bon décalage et le bon facteur. Je le montre sur l’exemple suivant :

\[ \begin{gathered} u_S = [-10\,\mathrm{mV} \ldots 10\,\mathrm{mV}] \\[6pt] U_{\mathrm{Ref}} = 3\,\mathrm{V} \rightarrow U_{\mathrm{ADC,Ein}} = [0\,\mathrm{V} \ldots 3\,\mathrm{V}] \end{gathered} \]

Approche 1

Nous décalons d’abord la tension du capteur dans la plage [0 V … 20 mV]. Nous ajoutons pour cela la tension de décalage U_V = 10 mV. On a

\[ \begin{gathered} u_S = [-10\,\mathrm{mV} \ldots 10\,\mathrm{mV}] \\[6pt] U_V = 10\,\mathrm{mV} \\[6pt] u_S + U_V = [-10\,\mathrm{mV} \ldots 10\,\mathrm{mV}] + 10\,\mathrm{mV} = [0\,\mathrm{V} \ldots 20\,\mathrm{mV}] \end{gathered} \]

Cherchons ensuite le gain adapté pour faire correspondre la tension décalée à la tension d’entrée du CAN. Chaque fois qu’une des bornes vaut 0, ce calcul est simple. Quel que soit le facteur par lequel on multiplie 0, le résultat est toujours 0. La tension de capteur 0 V correspond donc toujours à la tension 0 V du CAN. Il suffit de considérer l’autre borne. Par quel facteur faut-il amplifier les 20 mV pour obtenir 3 V ? Nous utilisons pour cela la formule

\[ \text{Facteur} = \frac{U_{\mathrm{ADC,Max}}}{(u_S + U_V)_{\mathrm{Max}}} = \frac{3\,\mathrm{V}}{20\,\mathrm{mV}} = 150 \]

Approche 2

Dans un nouvel exercice, nous décalons la tension du capteur dans la plage [−20 mV … 0 V]. Nous ajoutons pour cela la tension de décalage U_V = −10 mV. On a

\[ \begin{gathered} u_S = [-10\,\mathrm{mV} \ldots 10\,\mathrm{mV}] \\[6pt] U_V = -10\,\mathrm{mV} \\[6pt] u_S + U_V = [-10\,\mathrm{mV} \ldots 10\,\mathrm{mV}] - 10\,\mathrm{mV} = [-20\,\mathrm{mV} \ldots 0\,\mathrm{V}] \end{gathered} \]

Cherchons ensuite le gain adapté pour faire correspondre la tension décalée à la tension d’entrée du CAN. Par quel facteur faut-il amplifier les −20 mV pour obtenir 3 V ? Nous utilisons la formule

\[ \text{Facteur} = \frac{U_{\mathrm{ADC,Max}}}{(u_S + U_V)_{\mathrm{Min}}} = \frac{3\,\mathrm{V}}{-20\,\mathrm{mV}} = -150 \]

Comme vous le voyez, on ne peut pas régler le problème avec une formule générale. Il faut réfléchir à quelle borne de la tension du capteur doit correspondre à quelle borne de la tension du CAN. Les sous-chapitres suivants présentent trois montages pour résoudre ce problème.

Offset et fonction de transfert

Si un bloc fonctionnel contient un offset dans son traitement interne, la fonction de transfert pose problème.

Une fonction de transfert devrait toujours être indépendante de la grandeur d’entrée. Si elle est par exemple constante en fonction de la grandeur d’entrée, elle en est manifestement indépendante. Comme la fonction de transfert H correspond à la pente m de la caractéristique d’une droite, une fonction de transfert constante donne une pente constante. Pour toute fonction linéaire, la pente m est constante. Pour simplifier, nous ne considérons dans ce tutoriel que des fonctions de transfert linéaires.

Que se passe-t-il avec des blocs à comportement linéaire de la forme y = m ∙ x + b ? Ils présentent un offset b. La caractéristique est décalée de b vers le haut. Le comportement est donc linéaire, mais pas proportionnel. Comme exemple de bloc non proportionnel, considérons le capteur de température « PT100 », souvent utilisé dans ce tutoriel. Son comportement est décrit par :

\[ \begin{gathered} R_{\mathrm{PT100}} = 100\,\Omega + 0{,}4\,\frac{\Omega}{°\mathrm{C}} \cdot T \\[6pt] \text{Grandeur d’entrée : } T \\[6pt] \text{Grandeur de sortie : } R_{\mathrm{PT100}} \\[6pt] \text{Fonction de transfert : } H = \frac{R_{\mathrm{PT100}}}{T} = \frac{100\,\Omega + 0{,}4\,\frac{\Omega}{°\mathrm{C}} \cdot T}{T} = \frac{100\,\Omega}{T} + 0{,}4\,\frac{\Omega}{°\mathrm{C}} \end{gathered} \]

Mais la fonction de transfert de la PT100 se compose de deux termes. S’il ne restait que le second, la fonction de transfert serait utile, car ce second terme est la pente de la caractéristique. Le premier terme, 100 Ω / T, est très gênant. La pente ne correspond manifestement pas ici à toute la fonction de transfert, mais seulement à une partie.

En général, un comportement linéaire avec offset ne permet plus d’établir simplement la fonction de transfert H = y / x. H n’est alors plus une constante. C’est mathématiquement possible, mais cela n’aide pas. L’intérêt de la fonction de transfert est de pouvoir regrouper les fonctions de transfert de blocs montés en série. Mais cela ne vaut que pour des fonctions proportionnelles, sans décalage b.

Pour un système linéaire, il est utile de soustraire d’abord le paramètre b. La fonction linéaire devient ainsi proportionnelle. On a :

\[ \begin{gathered} y = m \cdot x + b \\[6pt] (y - b) = m \cdot x \\[6pt] R_{\mathrm{PT100}} = 100\,\Omega + 0{,}4\,\frac{\Omega}{°\mathrm{C}} \cdot T \\[6pt] (R_{\mathrm{PT100}} - 100\,\Omega) = 0{,}4\,\frac{\Omega}{°\mathrm{C}} \cdot T \\[6pt] \text{Le terme } (R_{\mathrm{PT100}} - 100\,\Omega) \text{ est proportionnel à } T \end{gathered} \]

Si nous parvenons à soustraire 100 Ω de la valeur de la PT100, nous obtenons une variation de résistance proportionnelle à la température. Nous pouvons ensuite amplifier normalement le signal. C’est précisément le sujet de cette partie du tutoriel : comment décaler d’abord un signal (addition ou soustraction), puis l’amplifier (multiplication) ?