Électrotechnique BMT & UFC › Analyse des circuits 2

Simplification de circuits

Un circuit réel se compose en général de montages en série et en parallèle de nombreux composants. Selon les règles que nous venons d’établir, ceux-ci peuvent être regroupés pas à pas. Le regroupement de tous les composants d’un circuit sert par exemple à déterminer le courant demandé à une source de tension.

Charge d’une source

Lorsque vous choisissez une batterie pour alimenter un circuit, le fabricant indique dans la fiche technique un courant maximal pouvant être prélevé de la batterie. De toute évidence, une batterie de voiture d’un volume de plusieurs litres peut fournir plus de courant qu’une petite pile bouton dans une montre. La consommation de courant du circuit – c’est-à-dire le courant qui sort de la batterie pour entrer dans le circuit – doit donc être adaptée à la batterie.

Il n’est pas simple mathématiquement de déterminer la consommation de courant d’un circuit complexe. Si l’on réduit le circuit, au mieux, à une seule résistance équivalente, le calcul devient facile.

C’est ce que montre l’exemple du circuit suivant, qui doit alimenter plusieurs récepteurs, tous modélisés par des résistances ohmiques. On a

Circuit d’exemple avec R1 à R5 sur un accumulateur LiPo

\[ \begin{gathered} R_1 = 4{,}4\,\Omega,\ R_2 = 6\,\Omega,\ R_3 = R_4 = R_5 = 4\,\Omega \\[4pt] \text{Pour l’accumulateur LiPo : } U_0 = 3{,}7\,\mathrm{V} \end{gathered} \]

Pour calculer le courant I₀ demandé à la source de tension, on simplifie le circuit pas à pas, sans modifier la tension ni le courant à la source.

Dans un premier temps, R₄ et R₅, qui sont en parallèle, sont regroupées en une seule résistance. On obtient le circuit simplifié suivant :

\[ R_{45} = R_4 \,||\, R_5 = \frac{4\,\Omega \cdot 4\,\Omega}{4\,\Omega + 4\,\Omega} = 2\,\Omega \]

Dans un deuxième temps, on regroupe le montage en série de R₃ et R₄₅ :

\[ R_{345} = R_3 + R_{45} = 4\,\Omega + 2\,\Omega = 6\,\Omega \]

R₂ et R₃₄₅ sont maintenant en parallèle. À l’étape de simplification suivante, on a :

\[ R_{2345} = R_2 \,||\, R_{345} = \frac{6\,\Omega \cdot 6\,\Omega}{6\,\Omega + 6\,\Omega} = 3\,\Omega \]

Enfin, le montage en série de R₁ et R₂₃₄₅ est regroupé en une résistance totale.

Résistance totale RGes sur la source — Ges = total

\[ R_{\mathrm{Ges}} = R_1 + R_{2345} = 4{,}4\,\Omega + 3\,\Omega = 7{,}4\,\Omega \]

Le courant demandé à la source se calcule maintenant simplement :

\[ I_0 = \frac{U_0}{R_{\mathrm{Ges}}} = \frac{3{,}7\,\mathrm{V}}{7{,}4\,\Omega} = 0{,}5\,\mathrm{A} \]

Ce courant sort de la batterie pour entrer dans le circuit. Cette valeur permet maintenant de choisir la batterie.

Calcul de tensions et de courants partiels

Les différentes étapes de simplification peuvent être parcourues à rebours pour calculer plus facilement les courants et tensions partiels d’un réseau. Calculons pour cela, dans l’exemple ci-dessus, la tension partielle U₂ aux bornes de R₂ ainsi que le courant partiel I₃ qui traverse R₃.

Circuit d’exemple avec les grandeurs recherchées U2 et I3

La tension U₂ correspond à la différence de potentiel entre les nœuds situés au-dessus et au-dessous de la résistance R₂. U₂ apparaît donc aux bornes de la résistance équivalente R₂₃₄₅ dans l’avant-dernière étape de simplification du circuit.

Le courant I₀ = 0,5 A traverse R₂₃₄₅. D’après la loi d’Ohm, la tension suivante apparaît aux bornes de cette résistance :

Diviseur de tension composé de R1 et R2345

\[ U_2 = R_{2345} \cdot I_0 = 3\,\Omega \cdot 0{,}5\,\mathrm{A} = 1{,}5\,\mathrm{V} \]

Le courant I₃ se calcule assez simplement avec un diviseur de courant à la troisième étape de simplification, car ce courant traverse la résistance équivalente R₃₄₅ :

Diviseur de courant composé de R2 et R345

\[ \text{Diviseur de courant : } I_3 = I_0 \cdot \frac{R_2}{R_2 + R_{345}} = 0{,}5\,\mathrm{A} \cdot \frac{6\,\Omega}{6\,\Omega + 6\,\Omega} = 0{,}5\,\mathrm{A} \cdot \frac{1}{2} = 0{,}25\,\mathrm{A} \]

Simulation