Mathématiques du sinus

La fonction sinus sert à calculer des longueurs et des angles dans un triangle. Considérons un triangle de côtés a, b et c et d’angle φ :

Dans un triangle, la fonction sinus donne la longueur du côté b rapportée à celle du côté c. Plaçons ce triangle dans un cercle d’un repère x-y :

Déplaçons en pensée le vecteur rouge le long de la ligne noire en pointillés de la figure ci-dessus. Nous modifions ainsi l’angle φ, mais gardons constante la longueur c du vecteur rouge. Si le cercle en pointillés coupe toujours les axes aux points 1 et −1, on a toujours c = 1. Avec c = 1, la relation entre b et c se simplifie :

Cela vaut en tout point du cercle en pointillés. Le résultat de la fonction sinus peut être illustré graphiquement sur ce cercle. Quand on fait varier l’angle φ, on lit directement sur la longueur de la ligne bleue b la valeur de sin(φ). Le sinus d’un angle se lit sur la longueur d’une ligne. C’est une bonne simplification.

Si cela va trop vite pour vous, je vous recommande la vidéo suivante (en allemand) sur les bases du sinus et du cosinus :

Augmentons ensuite l’angle φ continûment dans le temps. Le vecteur rouge parcourt alors le cercle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. On a :

L’angle φ varie avec le temps t, et la longueur b varie donc aussi.

Nous définissons la durée d’un tour complet comme la période T. T décrit donc l’intervalle de temps jusqu’à la première répétition de la courbe. Pour φ = 2π, on a t = T. Le temps t correspond alors à une période T. Nous pouvons maintenant reporter l’évolution de b sur un axe des temps et obtenons le graphique suivant pour b(t) :

Les points de couleur sur le cercle correspondent à ceux de la courbe temporelle de droite. Les valeurs y, c’est-à-dire les valeurs de b(t), sont identiques à gauche et à droite. Un tour complet – donc une période – est représenté. L’angle φ prend ses valeurs dans φ = [0 .. 2π].

La courbe b(t) = sin(φ) ne montre pas encore de dépendance au temps. Si l’angle varie dans le temps, il nous faut une formule pour cette dépendance. On a :

Pour vérifier si cette formule reproduit correctement la courbe de la figure de droite, remplaçons t par quelques valeurs. Sur un tour, le temps t varie dans l’intervalle t = [0 .. T].

En substituant des valeurs numériques dans la formule, nous avons montré qu’elle est valable. Toutes les valeurs correspondent à celles attendues, que nous voyons sur le graphique du cercle.

Nous pouvons aussi substituer dans la formule des valeurs de t hors de la période T. Le point fait alors un tour complet du cercle, puis continue. On peut aussi supprimer chaque tour complet sans changer le résultat. On a par exemple sin(3π) = sin(π). Un tour complet correspond à l’angle 2π. Une rotation de 3π fait donc un tour complet, puis tourne encore de π.

Nous avons ainsi trouvé une formule qui permet de décrire mathématiquement des grandeurs tournant sans cesse sur un cercle. Ce sont des grandeurs sinusoïdales de forme générale

Le paramètre t de l’équation représente le temps. Il joue le rôle du x des équations en f(x) des mathématiques scolaires. Si vous voulez calculer b à un instant donné, vous substituez cet instant t dans l’équation. La formule a alors une seule solution b, un nombre. Mais ce n’est pas du tout ce que nous cherchons. La formule elle-même est la solution du problème : la description mathématique d’une grandeur alternative en fonction du temps t. Normalement, vous ne remplacez donc pas t par une valeur, mais vous utilisez cette formule pour d’autres calculs.

C’est comme pour l’équation d’une droite y = m ∙ x + b. L’équation décrit mathématiquement tous les points y de la droite. Vous pouvez calculer une valeur y en substituant x. C’est bien, mais ce n’est souvent pas le but. Vous pouvez aussi utiliser l’équation pour vérifier si une autre droite lui est parallèle ou la coupe. Pour cela, vous avez besoin de l’équation elle-même, pas d’une seule valeur numérique. En électrotechnique, nous utilisons l’équation ci-dessus pour d’autres calculs.