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Calculer avec des unités

Nous commençons par les bases des unités physiques. Sans une bonne compréhension des unités, nous ne pouvons pas travailler, car chaque grandeur physique n’a de sens qu’accompagnée d’une unité.

Les unités sont une convention, c’est-à-dire un accord volontaire. Elles visent à harmoniser les mesures au niveau international. La longueur d’une table peut par exemple être donnée en mètres, en centimètres ou en pouces. La valeur numérique devant l’unité a alors une signification différente à chaque fois. Nous utilisons exclusivement les unités SI, donc le mètre pour la longueur.

La longueur d’une table d’exemple de 85 cm s’écrit \(l = 0{,}85\,\mathrm{m}\). Cette indication contient

\(l\) : symbole d’une longueur
\(0{,}85\) : valeur numérique
\(\mathrm{m}\) : unité SI, le mètre

Ces trois indications sont le minimum nécessaire pour décrire correctement la longueur d’une table selon la convention. La réponse « 0,85 » est donc fausse, car le symbole et l’unité manquent. Les indications \(l = 0{,}85\,\mathrm{m}\) et \(l = 85\,\mathrm{cm}\) sont toutes deux correctes pour une longueur. L’indication en mètres est toutefois habituelle dans les systèmes techniques. Le mètre est ce qu’on appelle l’« unité SI », c’est-à-dire l’unité officiellement utilisée.

Chaque fois que de nouvelles grandeurs électriques sont introduites dans ce texte, leur symbole et leur unité sont indiqués dans un tableau. Pour chaque grandeur physique, vous apprenez donc par cœur trois éléments de vocabulaire : la grandeur (par exemple le temps), le symbole (par exemple \(t\)) et l’unité (par exemple la seconde). Vous pouvez ainsi écrire correctement une durée de 3 secondes sous la forme \(t = 3\,\mathrm{s}\).

Pour écrire clairement de très grandes et de très petites valeurs, on utilise des préfixes. Vous avez déjà rencontré plus haut le préfixe centi (c) pour la longueur de la table. Une très petite longueur pourrait s’écrire \(l = 0{,}00003\,\mathrm{m}\), \(l = 3 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{m}\) ou \(l = 30\,\text{µm}\). Ici, on utilise le préfixe \(\text{µ} = 10^{-6}\). Les préfixes évitent d’écrire de nombreux zéros. Les préfixes suivants sont couramment utilisés en électrotechnique :

Préfixe	Puissance de dix
Femto (f)	\(10^{-15}\)
Pico (p)	\(10^{-12}\)
Nano (n)	\(10^{-9}\)
Micro (µ)	\(10^{-6}\)
Milli (m)	\(10^{-3}\)
Centi (c)	\(10^{-2}\)
Kilo (k)	\(10^{3}\)
Méga (M)	\(10^{6}\)
Giga (G)	\(10^{9}\)
Téra (T)	\(10^{12}\)

Les préfixes agissent comme une multiplication par la puissance de dix correspondante. Le poids \(F = 1\,\mathrm{kN}\) (kilonewton) correspond à \(1 \cdot 10^{3}\,\mathrm{N}\), car kilo est associé à la puissance de dix \(10^{3}\).

Pourquoi dois-je apprendre cela ?

En électrotechnique, beaucoup de valeurs sont données avec des préfixes. Vous ne pouvez donc résoudre de nombreux exercices que si vous maîtrisez les préfixes. Dans un énoncé, une tension est par exemple donnée sous la forme \(U = 5\,\mathrm{kV}\). Cela signifie : la tension \(U\) vaut 5000 volts. Sans connaître la signification et la valeur numérique associée au « k », vous ne pouvez pas résoudre cet exercice. Dans les solutions, vous devez parfois aussi donner les valeurs avec des préfixes.

Beaucoup d’étudiants sous-estiment ce problème. Aux examens, je vois de nombreuses solutions fausses à cause d’un mauvais traitement du préfixe. Prenez donc ce sujet au sérieux. Vous en aurez bien sûr aussi besoin dans beaucoup d’autres matières.

Unités SI

En plus du calcul avec les préfixes, vous devez aussi savoir convertir des unités. Il existe 7 unités de base, les unités SI. Ce sont :

m : le mètre pour la mesure de longueur
kg : le kilogramme pour la masse
s : la seconde pour la mesure du temps
A : l’ampère pour la mesure du courant électrique
K : le kelvin pour la mesure de température
cd : la candela pour la mesure de l’intensité lumineuse
mol : la mole pour la quantité de matière en chimie

Toutes les autres unités sont composées de ces unités par multiplication et division. Nous le montrons sur l’exemple de l’unité de force : en mécanique, la force a pour unité le newton (N). On a

\[ \begin{gathered} \text{Accélération } [a] = \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \\[4pt] \text{Masse } [m] = \mathrm{kg} \\[4pt] F = m \cdot a \;\text{ avec }\; [F] = [m] \cdot [a] = \mathrm{kg} \cdot \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = \mathrm{N} = [F] \\[4pt] 1\,\mathrm{N} = 1\,\frac{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \end{gathered} \]

Lorsque nous écrivons une formule pour des unités, les symboles sont placés entre crochets. Nous écrivons l’affirmation « L’unité de la force est le newton » sous la forme \([F] = \mathrm{N}\). La force \(F\) se calcule comme le produit de la masse et de l’accélération. L’unité de la force se calcule comme le produit de l’unité de la masse et de l’unité de l’accélération. C’est ainsi que les unités SI donnent des unités dérivées comme le newton N pour la force.

Si, à la fin d’un calcul de force, vous obtenez une unité telle que

\[ [F] = \frac{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}}{\mathrm{s}} \quad (\text{Attention : faux !}) \]

alors il manque une seconde au dénominateur. Votre formule de calcul était donc fausse. Vous avez probablement aussi une erreur dans la valeur numérique. C’est pourquoi on utilise volontiers les unités pour contrôler un calcul. Si l’unité est juste, la formule l’est probablement aussi, et la valeur numérique aussi, espérons-le.

On ne peut additionner ou soustraire que des grandeurs de même unité. Si, dans un calcul de force, vous obtenez \(F_{\mathrm{Ges}} = 3\,\mathrm{N} + 2\,\mathrm{s}\), vous vous êtes forcément trompé. Le second terme doit lui aussi être en newtons, sinon les termes ne peuvent pas être additionnés.

Des termes d’unités différentes peuvent être multipliés ou divisés.

À titre d’exemple, je vous montre comment résoudre des exercices avec des unités et des préfixes. L’expérience montre qu’avec ce schéma de calcul, on fait moins d’erreurs.

Exercice 1 : calculez la force F (exemple résolu).

\[ \begin{gathered} \text{Données : } a = 130\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}^2} \;\text{ et }\; m = 33\,\mathrm{g} \\[6pt] \text{Conversion des préfixes en puissances : } a = 130 \cdot 10^{3}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2};\; m = 33 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{kg} \\[6pt] F = m \cdot a = 130 \cdot 10^{3}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot 33 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{kg} = (130 \cdot 33) \cdot \left(10^{3} \cdot 10^{-3}\right) \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\,\mathrm{kg} \\[6pt] F = 4290 \cdot 10^{(3-3)}\,\mathrm{kg}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = 4290 \cdot 10^{0}\,\mathrm{N} \\[6pt] F = 4290\,\mathrm{N} = 4{,}29 \cdot 10^{3}\,\mathrm{N} = 4{,}29\,\mathrm{kN} \end{gathered} \]

On convertit d’abord les préfixes des valeurs d’entrée \(a\) et \(m\) en puissances. Les unités sont exprimées en unités SI. Pour cela, il faut par exemple convertir le gramme g en kilogrammes kg. On multiplie ensuite les valeurs numériques 130 et 33. Les exposants des puissances s’additionnent. Les parenthèses de la ligne du milieu ne sont pas nécessaires mathématiquement ; elles indiquent seulement quelles valeurs sont regroupées à l’étape suivante. À la fin, le résultat peut être donné en notation exponentielle ou avec un préfixe. Les trois derniers résultats sont tous également justes. Vous rencontrerez les trois formes en pratique.

Parenthèse : nos prédécesseurs ont manqué de vigilance sur un point : le mètre est désigné par un petit « m ». Le préfixe milli aussi. Si vous voyez un « m » dans une formule, s’agit-il d’un mètre ou d’un milli ? Nous résolvons le problème par une convention : le préfixe est toujours placé devant toutes les unités. Pour 1000 mètres, nous écrivons donc toujours km et non mk. Si vous voyez un petit « m » devant les unités, il signifie milli. S’il se trouve après les préfixes, il signifie « mètre ». Par précaution, nous plaçons toujours le mètre à la fin de toutes les unités.

Résolvez les exercices suivants selon ce schéma :

Exercice 2 : calculez la distance s parcourue

\[ \text{Données : vitesse } v = 0{,}2\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}},\; t = 30\,\mathrm{min} \]

Solution :

\[ \begin{gathered} v = 0{,}2\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = 0{,}2 \cdot 10^{3}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{h}} = \frac{0{,}2}{3600} \cdot 10^{3}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = 55{,}6 \cdot 10^{-6} \cdot 10^{3}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = 55{,}6 \cdot 10^{-3}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\[6pt] t = 30\,\mathrm{min} = 1800\,\mathrm{s} = 1{,}8 \cdot 10^{3}\,\mathrm{s} \\[6pt] \text{Mouvement uniforme : } s = v \cdot t \\[6pt] s = v \cdot t = 55{,}6 \cdot 10^{-3}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \cdot 1{,}8 \cdot 10^{3}\,\mathrm{s} = 100 \cdot 10^{3} \cdot 10^{-3}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\,\mathrm{s} = 100\,\mathrm{m} \end{gathered} \]

Exercice 3 : qu’est-ce qui est faux dans cette formule ?

\[ F + t = 3\,\mathrm{N} + 25\,\mathrm{s} \]

Solution : on ne peut pas additionner des termes d’unités différentes.

Pour aller plus loin

YouTube : convertir des unités physiques (en allemand)
Exercices avec solutions (en allemand)