Électrotechnique BMT & UFC › Stockage d’énergie

Réservoir d’eau

Remarque : le chapitre « Réservoir d’eau » et ses trois sous-chapitres ne sont pas au programme de l’examen. Ils servent à expliquer de manière intuitive le fonctionnement du calcul intégral. Si cela ne vous intéresse pas, reprenez la lecture au chapitre « Accumulateurs d’énergie électrique ». Lisez au moins le sous-chapitre « Résolution graphique », qui aide à résoudre les exercices d’examen sur les accumulateurs d’énergie.

Nous commençons les explications sur les accumulateurs d’énergie par des réservoirs d’eau. Puis nous transposons les résultats aux accumulateurs d’énergie électrique.

Considérons un seau comme réservoir d’eau. Il est rempli par un robinet. Son fond comporte un écoulement qui permet de le vider par un robinet. Comment le niveau de remplissage h du seau dépend-il de l’arrivée et de l’écoulement de l’eau ?

Le niveau h monte quand de l’eau coule dans le seau. Plus l’eau coule longtemps, plus le niveau h est élevé ensuite. Plus il entre d’eau par unité de temps, plus le niveau h monte vite. Si l’arrivée est coupée, le seau conserve son niveau actuel.

Si l’on remplit une piscine au lieu du seau avec la même quantité d’eau, le niveau monte beaucoup plus lentement : il y a donc une dépendance à la surface de base A.

Seau de surface de base A, de hauteur hmax et de hauteur de remplissage h — Grundfläche = surface de base · Becherhöhe = hauteur du gobelet · Füllhöhe = hauteur de remplissage

\[ \begin{gathered} \text{Propriétés des réservoirs à l’exemple du seau :} \\ \text{Entrée : arrivée et écoulement ; sortie : hauteur de remplissage } h \\ \text{La hauteur } h \text{ monte avec l’arrivée et baisse avec l’écoulement} \\ \text{La hauteur } h \text{ reste constante sans arrivée ni écoulement} \\ \text{La hauteur } h \text{ monte plus vite pour une petite surface de base } A \\ \text{La hauteur } h \text{ monte plus vite pour un débit d’arrivée } \dot{v} \text{ plus grand} \end{gathered} \]

\[ \begin{gathered} \text{Propriétés générales des réservoirs :} \\ \text{La sortie } y \text{ augmente pour une entrée positive } x > 0 \\ \text{La sortie } y \text{ diminue pour une entrée négative } x < 0 \\ \text{La sortie } y \text{ varie plus vite pour une entrée de plus grande valeur absolue } |x| \\ \text{La sortie } y \text{ reste constante pour une entrée } x = 0 \\ \text{La sortie } y \text{ dépend souvent d’un facteur géométrique} \end{gathered} \]

Le comportement décrit ci-dessus se décrit mathématiquement par une intégrale. Pour un remplissage entre les instants t_Start et t_Ende (fin) avec l’arrivée d’eau, on a :

\[ \begin{gathered} h(t_{\mathrm{Ende}}) = \frac{1}{A} \cdot \int_{t_{\mathrm{Start}}}^{t_{\mathrm{Ende}}} \dot{v}(t)\,dt + h_0(t_{\mathrm{Start}}) \\[6pt] \begin{aligned} \text{Avec } &h\text{ : niveau de remplissage} \\ &A\text{ : surface de base du seau} \\ &\dot{v}\text{ : arrivée d’eau} \\ &h_0(t_{\mathrm{Start}})\text{ : valeur initiale du niveau} \end{aligned} \end{gathered} \]

La surface de base A du seau ne change pas. Elle est constante dans le temps. On la sort donc de l’intégrale.

La formule décrit le niveau d’eau h à l’instant t_Ende. Il dépend du niveau avant le remplissage h₀, présent à l’instant t_Start, c’est-à-dire juste avant que la première goutte d’eau n’atteigne le seau. En mathématiques générales, c’est le paramètre c dans

\[ y = \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx + c \]

De manière intuitive, le niveau résulte de tout l’historique de remplissage et de vidage du seau. La somme de toutes les arrivées moins la somme de tous les écoulements donne le niveau actuel. Nous n’avons besoin du niveau précédent h₀(t_Start) que si, par paresse, nous coupons le passé et le figeons comme valeur initiale d’une nouvelle étude.

La variation pendant le remplissage est décrite par l’intégrale. On intègre sur le temps t, et non plus sur le paramètre général x. Quand on calcule avec des grandeurs réelles, il faut tenir compte des unités. Dans l’exemple ci-dessus, on a les unités suivantes :

\[ \begin{gathered} \text{Débit d’arrivée } [\dot{v}] = \frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{s}} \\[4pt] \text{Temps } [t] = \mathrm{s} \\[4pt] \text{Bornes d’intégration } [t_{\mathrm{Start}}] = [t_{\mathrm{Ende}}] = \mathrm{s} \\[4pt] \text{Niveau } [h] = \mathrm{m} \\[4pt] \text{Surface de base } [A] = \mathrm{m}^2 \end{gathered} \]