Métrologie › Filtres, partie 1 › Filtres électriques

Diagramme de Bode

Les fréquences parasites et les fréquences utiles peuvent prendre des valeurs très petites ou très grandes. Nous considérons des fréquences de quelques hertz (Hz) et d’autres de nombreux mégahertz (MHz). Nous considérons donc aussi des pulsations ω = 2πf allant de ω = 1 1/s jusqu’à ω = 1 M 1/s. Pour les représenter simultanément sur un même diagramme, nous utilisons un axe des fréquences logarithmique. Sur cet axe, la fréquence est multipliée par 10 d’un trait vertical au suivant. Avec des axes linéaires, on ajoute, dans l’exemple, +10 d’un trait au suivant. L’axe logarithmique permet de représenter des plages de fréquence plus étendues sur un même diagramme.

Module |H(ω)| d’un passe-bas avec ω_g = 30 1/s sur un axe des fréquences linéaire — Bereich = plage · Durchlass = passante (bande passante) · Reduktion = réduction

Module |H(ω)| sur un axe des fréquences logarithmique — Bereich = plage · Reduktion = réduction · Durchlass = passante (bande passante)

Le module de la fonction de transfert est maintenant représenté sur une plage de fréquence bien plus large, de ω = 1 1/s à ω = 1 M 1/s. Mais aux très hautes fréquences, ω > 10000 1/s, on ne peut plus lire la fonction de transfert du filtre : les valeurs en ordonnée sont trop petites. Sur la représentation des fréquences dans la plage ω = [0 … 100 1/s], cela n’était pas apparent : les valeurs en ordonnée n’y étaient tout simplement pas aussi petites.

Pour pouvoir encore distinguer de minuscules valeurs de 0, nous passons aussi l’axe des ordonnées en échelle logarithmique. La valeur de l’axe y est multipliée par 10 entre deux traits horizontaux, au lieu d’augmenter de +0,1 comme auparavant. La même fonction de transfert se présente alors ainsi :

Diagramme de Bode : module |H(ω)| en double échelle logarithmique avec bande passante et zone d’atténuation — Bereich = plage · Durchlass = passante (bande passante) · Reduktion = réduction

Sous cette forme, nous pouvons visualiser de très petites valeurs de la fonction de transfert sur une très large plage de fréquences. C’est en double échelle logarithmique que l’on représente habituellement les fonctions de transfert des filtres. On y voit aussi mieux pourquoi la fréquence de coupure divise la fonction de transfert en deux domaines. À gauche de la fréquence de coupure, le module de la fonction de transfert vaut environ 1. À droite, il décroît selon une droite.

En réalité, la fonction de transfert décroît avec la fréquence selon H ~ 1/f. En double échelle logarithmique, ce comportement apparaît comme une droite. C’est plus facile à traiter pour notre cerveau : on y lit plus facilement les valeurs et on la trace plus facilement. Gardez à l’esprit qu’il ne s’agit que d’un artifice graphique qui ne fonctionne qu’en double échelle logarithmique. Le comportement n’est pas linéaire ; il en a seulement l’air.

Ce diagramme en double échelle logarithmique de la fonction de transfert en fonction de la pulsation est appelé « diagramme de Bode ».

Approximation de Bode

À la fréquence de coupure, le filtre atténue déjà un signal d’un facteur 0,7. L’atténuation aux fréquences proches de la fréquence de coupure est difficile à calculer. Loin à gauche, la fonction de transfert vaut constamment 1 ; loin à droite, elle décroît avec une pente constante. Les deux cas sont mathématiquement maîtrisables.

À la fréquence de coupure, nous utilisons l’approximation de Bode pour simplifier. Nous faisons comme si la fonction de transfert valait toujours 1 aux fréquences inférieures ou égales à la fréquence de coupure, et comme si elle décroissait aussitôt avec une pente constante au-delà. Cela ressemblerait à peu près à ceci :

\[ \begin{gathered} |H(\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega/\omega_g)^2}} \\[6pt] |H(\omega)| = 1 \text{ pour } \omega \le \omega_g \\[6pt] |H(\omega)| = \frac{1}{\omega RC} \text{ pour } \omega > \omega_g \end{gathered} \]

Approximation de Bode (rouge) : droite horizontale jusqu’à ω_g, puis droite décroissante

En rouge, vous voyez l’allure de la fonction de transfert selon l’approximation de Bode ; en bleu, en dessous, l’allure réelle. Avec l’approximation de Bode, nous ne commettons d’erreur qu’autour de la fréquence de coupure. Ailleurs, les deux courbes sont presque confondues. Comme nous éviterons de toute façon plus tard la zone autour de la fréquence de coupure, nous utiliserons désormais cette approximation pour simplifier les calculs.

À droite de la fréquence de coupure, on a :

Si je multiplie la fréquence ω par 10, le module de la fonction de transfert est divisé par 10.

Le diagramme de Bode de la fonction de transfert ne se compose désormais plus que de 2 droites. Comparez-le avec la première version à axes linéaires : il est bien plus facile à utiliser. Nous pouvons lire directement comment le filtre modifie les signaux d’entrée. Choisissez la pulsation du signal d’entrée sur l’axe des abscisses et lisez le module correspondant de la fonction de transfert sur l’axe des ordonnées. La valeur de crête du signal est multipliée par ce facteur. C’est bien plus simple que de calculer la formule de la fonction de transfert pour la pulsation ω du signal.