Filtres indésirables

L’ensemble du chapitre « Filtres involontaires » n’est pas au programme de l’examen. Vous pouvez le laisser de côté si vous voulez seulement préparer rapidement le cours.

Prenons des mouvements de la vie courante. Vous pouvez lancer une balle en l’air et la rattraper une fois par minute. Vous y arrivez aussi dix fois par minute. S’il faut le faire une fois par seconde, cela devient déjà juste. Plus vous lancez et rattrapez la balle vite, moins vous pouvez la lancer haut. La valeur de crête « hauteur de lancer » diminue donc avec la fréquence. Dans votre capacité à lancer et rattraper une balle, vous êtes limité par un passe-bas.

Tout système est, à un moment ou un autre, limité par un passe-bas. Rien ne va infiniment vite. Il n’est pas nécessaire de filtrer activement : cela se produit tout seul. Un filtre ajouté volontairement à un système complète ce comportement naturel.

Tous les montages et composants réels présentent dans leur fonctionnement un comportement passe-bas naturel. Les signaux à la sortie d’un système ne peuvent pas varier infiniment vite. Nous étudions ce phénomène sur l’exemple des amplificateurs opérationnels. Prenons un AOP qui amplifie un signal d’entrée alternatif d’un facteur v = −1000.

D’après sa fiche technique, l’AOP a une vitesse de variation maximale de sa tension de sortie : le slew rate (vitesse de balayage, pente de tension maximale). Un AOP de slew rate 1 V/µs ne peut pas faire varier sa tension de plus de 1 V en une microseconde. Un signal de fréquence f = 1 MHz monte et descend une fois complètement en une microseconde. Prenons f = 1 MHz comme fréquence de signal pour l’exemple et regardons le signal de sortie de l’AOP :

Le signal de sortie de l’AOP varie de 2 V entre les instants 0,25 µs et 0,75 µs. Faisons comme si la variation était linéaire (courbe rouge). L’AOP devrait alors faire varier sa tension de sortie de 2 V en 0,5 µs, soit à 4 V/µs. Il n’y arrive pas : sa sortie n’est pas assez rapide.

Dans l’analogie du modèle hydraulique, l’AOP a à sa sortie un tuyau de diamètre limité. Il ne passe par ce tuyau qu’une quantité d’eau limitée par unité de temps ; le niveau d’eau à la sortie de l’AOP ne peut donc pas varier infiniment vite.

L’AOP ne peut pas produire ce signal de sortie. Il produit donc le plus grand signal qu’il arrive encore à fournir :

Considérons une tension de sortie de l’AOP de 0,25 V de valeur de crête. Si la montée de tension entre les extrêmes était linéaire, la sortie de l’AOP devrait monter de 0,5 V en 0,5 µs. Il y arrive, car il peut faire varier sa sortie de 1 V/µs. (Pour une forme exactement sinusoïdale, la pente maximale vaut 2πf ∙ û ; à 1 MHz, l’AOP n’atteint alors qu’environ 0,16 V de valeur de crête.)

Plus la fréquence de la tension d’entrée est élevée, plus la montée de tension est raide pour une même valeur de crête. Il reste moins de temps pour la même montée quand la période diminue parce que la fréquence augmente. Considérons une tension de sortie de l’AOP à une fréquence 10 fois plus élevée : l’AOP ne peut alors fournir que 1/10 de la tension de sortie. La tension de sortie de l’AOP présente donc un comportement passe-bas sans que personne ait branché de R ou de C à l’extérieur.

Produit gain-bande passante

D’autres grandeurs d’influence internes à l’AOP déterminent son comportement passe-bas. Tous ces effets sont sujets à une dispersion ou à une incertitude quant au moment où ils agissent. Un AOP a donc d’abord un comportement passe-bas dont la fréquence de coupure dépend de nombreux effets et présente une valeur incertaine. C’est fâcheux. C’est pourquoi on crée en interne, avec une résistance et un condensateur, un passe-bas dominant dont la fréquence de coupure est fixée par le fabricant. Sur le diagramme de Bode, la fréquence de coupure de ce filtre ajouté volontairement se trouve plus à gauche que toutes les autres fréquences de coupure naturelles. On garantit ainsi un comportement déterministe et toujours identique pour tous les AOP d’une série.

Si l’AOP ne peut plus fournir une tension de sortie souhaitée, son gain diminue de fait. Le gain de l’AOP correspond à sa fonction de transfert H. Comme pour tous les autres filtres, la fonction de transfert présente donc un comportement passe-bas. Cela peut ressembler à ceci :

Cet AOP d’exemple peut amplifier des signaux continus avec un gain maximal de |v| = 100000. Plus la fréquence du signal d’entrée est élevée, plus le gain est faible. Les signaux d’entrée à f = 1 MHz ne sont plus amplifiés qu’avec |v| = 1. La plage de fréquences jusqu’à laquelle un gain souhaité peut encore être obtenu est appelée « bande passante ». Cet AOP a donc une bande passante de 1 MHz si l’on a besoin par exemple de v = −1. S’il doit amplifier un signal d’entrée avec v = −1000, cela ne fonctionne plus que jusqu’à une fréquence de 1 kHz.

Le « produit gain-bande passante » d’un AOP est une constante indiquée dans la fiche technique. Pour l’AOP d’exemple, il vaut 1 MHz. Le produit du gain et de la bande passante vaut toujours 1 MHz en tout point de la droite rouge à droite de la fréquence de coupure.

L’AOP peut fonctionner en tout point situé sous la courbe rouge, qui ne fait que limiter son gain vers le haut. L’AOP peut par exemple aussi fonctionner à f = 1 kHz avec un gain v = 10.

Ce comportement passe-bas n’a pas de lien direct avec le slew rate vu plus haut. Avec le comportement passe-bas du diagramme de Bode, on ralentit artificiellement l’AOP pour que son comportement soit déterministe. Pour cela, la fréquence de coupure de ce passe-bas doit se trouver si loin à gauche sur le diagramme de Bode que tous les autres effets n’entrent même pas en jeu.

C’est comme si le passe-bas faisait bouger la balle si lentement que vous pouvez toujours la rattraper et la relancer sans peine. La balle vole alors par exemple à une fréquence maximale de f = 0,1 Hz. Personne ne remarque alors que vous ne pouvez rattraper et relancer la balle que jusqu’à une fréquence de f = 1 Hz. En ralentissant volontairement, vous devancez la fréquence de coupure naturelle, qui n’a plus d’effet visible de l’extérieur.